[論文レビュー] Equivariant Chern characters with generalized coefficients

Paul-Émile Paradan, Michèle Vergne|ArXiv.org|Jan 18, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、コンpaktoな多様体にコンパクトなリー群作用を伴う転送的楕円型作用素に対して、$C^{-\infty}$-係数を用いた一般化された等長的チェーン・キャラクターを導入する。$K$-不変1形式 $\lambda$ を用いたチェーン・キャラクターの局在化により、$K$ 上の一般化関数としての等長的インデックスが得られる、supporth がコンパクトで等長的閉じた微分形式を構成する。これはアティヤ＝シンガーのインデックス定理を非楕円的状況に拡張する。

ABSTRACT

These notes form the next episode in a series of articles dedicated to a detailed proof of a cohomological index formula for transversally elliptic pseudo-differential operators and applications. The first two chapters are already available as math.DG/0702575 and arXiv:0711.3898. In this episode, we construct the relative equivariant Chern character of a morphism of vector bundles, localized by a one form, and we prove a multiplicativity property of this generalized Chern character

研究の動機と目的

• コンパクトな多様体にコンパクトなリー群作用を伴う転送的楕円型擬微分作用素に対して、アティヤ＝シンガーのインデックス定理を拡張すること。
• $K$-不変1形式 $\lambda$ の存在下で、コンパクトな台を持つ等長的チェーン・キャラクターを、一般化関数係数で構成すること。
• テンソル積および群作用の下での一般化されたチェーン・キャラクターの乗法性およびファンクター性を証明すること。
• リーマン・リュービル1形式に関連するモーメント写像の臨界集合を通じた非アーベル的局在公式を確立すること。
• $K$ 上の一般化関数を、$C^{-\infty}$-係数を伴う等長的閉形式の積分として計算するためのコhomological枠組みを提供すること。

提案手法

• $f_\lambda: N \to \mathfrak{k}^*$ を $K$-不変1形式 $\lambda$ に関連するモーメント写像とする。臨界集合 $C_\lambda = f_\lambda^{-1}(0)$ を定義する。
• $C^{-\infty}$-係数を伴う相対的等長的チェーン・キャラクター $\operatorname{Ch}_{\rm rel}(\sigma, \lambda)$ を、$F$（準同型 $\sigma$ の特異的台）との交わり $C_\lambda \cap F$ 上に台を持つように構成する。
• 等長的コホモロジーの台付きの逆極限および相対的コホモロジーを用いて、$\mathcal{C}^{-\infty}$-設定における一般化されたキャラクターを定義する。
• 1形式 $\lambda$ を用いたチェーン・キャラクターの変形を導入し、$\mathbf{T}^*M$ 上での積分を通じて局在化されたインデックス公式を導出する。
• ボルテラ展開および振動積分の推定を用いて、テンソル積および群作用の下での一般化されたチェーン・キャラクターの乗法性を証明する。
• $\operatorname{e}^{i\langle\xi,X\rangle}$、$\operatorname{e}^{-t^2 R(y)}$、およびコンパクトな台を持つ $Q(X)$ を含む振動積分に対する $L^2$-推定を、$t$ および $y$ に関して一様な境界を伴って確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化関数係数を伴う転送的楕円型作用素に対して、チェーン・キャラクターをどのように一般化できるか？
• RQ2 $K$-不変1形式 $\lambda$ は、チェーン・キャラクターをコンパクトな台を持つ等長的微分形式に局在化するために果たす役割は何か？
• RQ3 臨界集合 $C_\lambda = f_\lambda^{-1}(0)$ は、一般化されたチェーン・キャラクターの台とどのように関係しているか？
• RQ4 $C^{-\infty}$-係数設定下で、テンソル積および群作用の下でもチェーン・キャラクターの乗法性が保たれるか？
• RQ5 符号が楕円的でない場合に、インデックス積分の収束を保証するにはどのような推定が必要か？

主な発見

• 一般化された等長的チェーン・キャラクター $\operatorname{Ch}_{\rm c}(\sigma, \omega)(X)$ は、$\mathbf{T}^*M$ 上の $C^{-\infty}$-係数を伴う、コンパクトな台、閉じた、等長的な微分形式であり、$C_\omega \cap F$ の近傍に台を持つ。
• 転送的楕円型作用素のインデックスは、$\operatorname{index}(P)(\exp X) = \int_{\mathbf{T}^*M} (2i\pi)^{-\dim M} \operatorname{Ch}_{\rm c}(\sigma, \omega)(X) \cdot \operatorname{Todd}(\mathbf{T}^*M)(X)$ で与えられ、$K$ 上の一般化関数を導く。
• 構成は乗法性を満たす：$\operatorname{Ch}_{\rm c}(\sigma_1 \otimes \sigma_2, \omega) = \operatorname{Ch}_{\rm c}(\sigma_1, \omega) \cdot \operatorname{Ch}_{\rm c}(\sigma_2, \omega)$ であり、古典的チェーン・キャラクターの性質を拡張する。
• 命題5.9の推定により、$\|D(\partial_y) \cdot J_Q(\xi, y_1, y_2, t)\| \leq \text{cst} \cdot \|Q\|_{\mathcal{K}^{\prime\prime}, 2p} \cdot (1+\|y_2\|)^\mu (1+\|\xi\|^2)^{-p} (1+t)^{q+2r_W} \operatorname{e}^{-t^2 \operatorname{m}(R(y))}$ が成り立ち、$\mu$ は $p$ に依存しない。
• 本手法はボルテラ展開および振動積分の一様な境界に依拠しており、パrameter $X \in \mathfrak{k}$ における収束性と滑らかさを保証する。
• $C^{-\infty}$-係数およびモーメント写像の局在化を用いて、ベルリン＝ヴェルヌの局在公式を非アーベル的かつ非楕円的状況に拡張する。