[論文レビュー] Equivariant counts of points of the moduli spaces of pointed hyperelliptic curves

Jonas Bergström|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、種数 g の n 点付き双曲的曲線のモジュライ空間 Hg,n における Fq-有理点の Sn-等変計数に関する再帰関係を確立し、Lefschetz 追跡公式を用いて ℓ-Adic および Betti コホロロジー構造の計算を可能にする。主な結果は、n ≤ 7 の場合、すべての g に対して、種数 0 および種数 1 のケースの知識があれば十分であり、特徴的依存性は重み 6 および種数 ≥3 で現れる。

ABSTRACT

We consider the moduli space $\Hh_{g,n}$ of $n$-pointed smooth hyperelliptic curves of genus $g$. In order to get cohomological information we wish to make $\s_n$-equivariant counts of the numbers of points defined over finite fields of this moduli space. We find recurrence relations in the genus that these numbers fulfill. Thus, if we can make $\s_n$-equivariant counts of $\Hh_{g,n}$ for low genus, then we can do this for every genus. Information about curves of genus 0 and 1 is then found to be sufficient to compute the answers for $\Hh_{g,n}$ for all $g$ and for $n \leq 7$. These results are applied to the moduli spaces of stable curves of genus 2 with up to 7 points, and this gives us the $\s_n$-equivariant Galois (resp. Hodge) structure of their $\ell$-adic (resp. Betti) cohomology.

研究の動機と目的

• 種数 g の n 点付き滑らかで双曲的な曲線のモジュライ空間 Hg,n における Fq-有理点の Sn-等変計数を計算すること。
• 低種数の点数をすべての種数に持ち上げるための種数 g における再帰関係を導出すること。
• 種数 2 および n ≤ 7 の場合のモジュライ空間 Mg,n の Sn-等変ガロア（ℓ-Adic）およびホッジ（Betti）コホロロジー構造を特定すること。
• 特徴的依存性がコホロロジー不変量に現れる時期、特に重み 6 および種数 ≥3 において、いつ現れるかを特定すること。
• 点数と Hg 上の局所系統のモチーフ的および重みフィルター付きコホロロジーを結ぶ枠組みを確立すること。

提案手法

• 対称関数とノルム和を介して双曲的曲線のコホロロジーと関連する係数 aλ|g を用いて、Sn-等変点数を定義する。
• 有限体上での多項式として aλ|g を表現し、奇数および偶数の特徴的ケースを区別する。
• モニック平方および平方自由部への一意的因数分解を用いて、aλ|g の基本的構成要素である ug に対する再帰関係を導出する。
• 定理 5.2 で与えられる特性多項式を用いて、aλ|g に対する線形再帰関係を確立し、大規模な種数では補間を用いる。
• Lefschetz 追跡公式を用いて点数と ℓ-Adic コホロロジー上のフロベニウス作用素のトレースを関連付け、Grothendieck 群における重みフィルター付きオイラー特性に翻訳する。
• 点数の純粋性および多項式性を用いて、定理 3.4 を用いて個々のコホロロジー群のガロアおよびホッジ構造を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低種数のデータが与えられたとき、すべての g に対して Hg,n における Sn-等変点数をどのように計算できるか？
• RQ2 種数 g における等変点数 aλ|g を支配する再帰関係は何か？また、奇数特徴的と偶数特徴的でどのように異なるか？
• RQ3 コホロロジー不変量 Hg,n において、特徴的依存性が最初に現れる重みと種数は何か？
• RQ4 ℓ-Adic および Betti コホロロジー Mg,n（種数 2 および n ≤ 7）は、これらの点数からどれほどまで再構成可能か？
• RQ5 重みフィルター付きコホロロジー ew_c(Hg ⊗ Q, Vλ) が安定化または消える条件は何か、特に λ に対して λ1 > |λ|/2 のときには？

主な発見

• n ≤ 7 の場合、Hg,n の Sn-等変点数は、種数 0 および種数 1 のデータによって完全に決定され、すべての g に対して再帰関係を用いて計算可能である。
• 点数 aλ|g は、奇数および偶数の特徴的ケースの両方において、q（有限体のサイズ）の多項式として表れるが、特徴的依存性は重み 6 および種数 ≥3 のみに現れる。
• 重み ≤5 の範囲では不変量は底面体の特徴的とは独立であるが、重み 6 では種数 3 から特徴的依存性が現れる。
• 重みフィルター付きコホロロジー ew_c(Hg ⊗ Q, Vλ) におけるフロベニウス作用素のトレースは、g ≥ |λ| − 1 のとき、q に関する明示的な有理関数表現 Rλ(q)|g として与えられる。
• 重み 5|λ| − 9 のとき、ew_c(Hg ⊗ Q, Vλ) = 0 であるという予想は、λ1 > |λ|/2 を満たすすべての λ に対して成り立ち、|λ| ≤ 30 の範囲で検証済みである。
• 結果は、Bini–van der Geer、Getzler、Tommasi による双曲的および安定曲線モジュライ空間のモチーフ的およびコホロロジー的不変量に関する先行の予想および計算と整合している。