[論文レビュー] Equivariant homotopy of definable groups

Alessandro Berarducci, Marcello Mamino|arXiv (Cornell University)|May 7, 2009

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、実閉体のo-最小的拡張上での2つの定義的コンパクトかつ定義的連結な群が、それらの関連するリー群が同型である場合に限り、定義的ホモトピー同値であることを確立する。コンパクト支配定理を用いて、定義的群とリー群の基本群の圏の間のG-不変な準同型を構成し、基本群に自然な同型を誘導する。さらに、有限部分群がこのような同値のもとで保存可能であることを証明し、半単純の場合には定義的同型が得られる。

ABSTRACT

Abstract. We consider groups definable in an o-minimal expansion of a real closed field. To each definable group G is associated in a canonical way a real Lie group G/G 00 which, in the definably compact case, captures many of the algebraic and topological features of G. In particular, if G is definably compact and definably connected, the definable fundamental group of G is isomorphic to the fundamental group of G/G 00. However the functorial properties of the isomorphism have so far not been investigated. Moreover from the known proofs it is not easy to understand what is the image under the isomorphism of a given generator. Here we clarify the situation using the “compact domination conjecture ” proved by Hrushovski, Peterzil and Pillay. We construct a natural homomorphism between the definable fundamental groupoid of G and the fundamental groupoid of G/G 00 which is equivariant under the action of G and induces a natural isomorphism on the fundamental groups. We use this to prove the following result. Let G and G ′ be two definably compact definably connected groups with isomorphic associated Lie groups. Then G and G ′ are definably homotopy equivalent. Moreover given a finite subgroup Γ of G, there is a definable homotopy equivalence f: G → G ′ that restricted to Γ is an isomorphism onto its image and such that f(cx) = f(c)f(x) for all c ∈ Γ and x ∈ G. In the semisimple case a stronger result holds: any Lie isomorphism from G/G 00 to G ′ /G ′00 induces a definable isomorphism from G to G ′. 1.

研究の動機と目的

• 定義的コンパクトかつ定義的連結な群Gの定義的基本群と、その関連するリー群G/G⁰⁰の基本群との間の同型の関手的および幾何的性質を明確化すること。
• この同型のもとでの特定の生成子の像についての理解不足を解消すること。
• Gの定義的基本群の圏とG/G⁰⁰の基本群の圏との間の自然な、G-不変な準同型を確立すること。
• 関連するリー群が同型であるならば、元の定義的群同士が定義的ホモトピー同値であることを証明すること。
• 有限部分群がこのようなホモトピー同値のもとで保存可能であり、群作用と可換になるように選べることを示すこと。

提案手法

• 最近、Hrushovski, Peterzil, Pillayによって証明されたコンパクト支配予想を活用し、定義的群とその関連するリー群との関係を確立する。
• Gの定義的基本群の圏とG/G⁰⁰の基本群の圏との間のG-不変な準同型を構成する。
• G/G⁰⁰を実リー群として自然に同定することにより、リー群から定義的群への位相的および代数的性質の転送を行う。
• 準同型の不変性を用いて、特に有限部分群における群作用との整合性を保証する。
• 基本群への誘導写像が同型であることを確立し、基本群の構造を保存する。
• 結果を半単純の場合に適用し、G/G⁰⁰とG′/G′⁰⁰の間の任意のリー群同型が、GとG′の間の定義的同型に引き上げられることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定義的コンパクトかつ定義的連結な群の定義的基本群と、その関連するリー群の基本群との同型を、関手的かつ幾何的に明確にできるか？
• RQ2 定義的基本群の与えられた生成子が、リー群の基本群との同型のもとでどこに写されるか？
• RQ3 関連するリー群が同型である2つの定義的コンパクトかつ定義的連結な群の間で、定義的ホモトピー同値を構成できるか？
• RQ4 このようなホモトピー同値を、有限部分群を保存し、群作用と可換になるように選べるか？
• RQ5 G/G⁰⁰とG′/G′⁰⁰の間のリー群同型が、半単純の場合にGとG′の間の定義的同型を必然的に誘導するか？

主な発見

• 関連するリー群が同型である定義的コンパクトかつ定義的連結な群は、定義的ホモトピー同値である。
• 定義的群とリー群の基本群の圏の間の準同型はG-不変であり、基本群に同型を誘導する。
• Gの任意の有限部分群Γに対して、f(cx) = f(c)f(x) をすべてのc ∈ Γおよびx ∈ Gで満たす定義的ホモトピー同値f: G → G′が存在する。
• fのΓへの制限は、G′における像上への同型である。
• 半単純の場合、G/G⁰⁰とG′/G′⁰⁰の間の任意のリー群同型は、GとG′の間の定義的同型に引き上げられる。
• 構成により、基本群の間の自然かつ標準的な同型が得られ、生成子の像に関する曖昧さが解消される。