[論文レビュー] Equivariant Motivic Homotopy Theory

Philip Herrmann|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、等変モチビックホモトピー理論における新しい固定点Nisnevich位相を導入し、すべての部分群に対して固定点関手を通じた等変弱同値の検出を可能にする。A¹局所弱同値が固定点における挙動によって特徴づけられることを確立し、等変代数的K理論がこの位相のもとで下降を満たさないことを証明する—これは等変Nisnevich位相における結果とは対照的である。

ABSTRACT

In this paper we study a model structure on a category of schemes with a group action and the resulting unstable and stable equivariant motivic homotopy theories. The new model structure introduced here samples a comparison to the one by Voevodsky and Hu-Kriz-Ormsby. We show that it allows to detect equivariant motivic weak equivalences on fixed points and how this property leads to a topologically convenient behavior of stable equivalences. We also prove a negative result concerning descent for equivariant algebraic K-theory.

研究の動機と目的

• 固定点Nisnevich位相に基づく、等変モチビックホモトピー理論の新しいモデル構造の構築。
• すべての部分群 H ≤ G に対して、固定点における挙動を通じた等変弱同値の特徴づけ。
• 得られる安定等変モチビックホモトピー理論の安定性性質の調査。
• 等変代数的K理論が新しい位相のもとで下降を満たすかどうかの特定。
• 新しい位相と既存の位相（特に等変Nisnevichおよび等変同型位相）との比較。

提案手法

• G-スキーム上の新しいGrothendieck位相、すなわちH-Nisnevich（または固定点Nisnevich）位相を導入し、その射が固定点がNisnevich被覆をなす場合に被覆と定義する。
• G-滑らかスキーム上の単体的前層における射 f が局所的弱同値であることは、すべての H ≤ G に対して f^H が sPre(Sm/k) 内で局所的弱同値であることと同値であることを証明する。
• 固定点関手と整合するBousfield局所化を用いて、A¹局所弱同値が固定点を通じて検出可能であることを確立する。
• 真のG-スペクトルに対するLewis-Mayの固定点および幾何的固定点のモチビックアナログを構成する。
• ホモトピー極限とCech被覆の技術を用いて、等変K理論の下降失敗を分析する。
• Merkurjevらのガロア拡張およびトーラスの上のK理論に関する結果を応用し、下降仮定の矛盾を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定点Nisnevich位相は、すべての部分群 H ≤ G に対して固定点関手による等変弱同値の検出を可能にするか？
• RQ2 不安定等変モチビックホモトピー圏におけるA¹局所弱同値は、固定点における挙動によって特徴づけられるか？
• RQ3 モチビック固定点関手および幾何的固定点関手は、安定等変モチビック圏における等変安定弱同値を検出できるか？
• RQ4 等変代数的K理論はH-Nisnevich位相に関して下降を満たすか？
• RQ5 H-Nisnevich位相は、等変Nisnevichおよび等変同型位相と比較して、下降性質においてどのように異なるか？

主な発見

• sPre(GSm/k) 内の射 f がA¹局所弱同値であることと、すべての部分群 H ≤ G に対して f^H が sPre(Sm/k) 内でA¹局所弱同値であることとは同値である。
• 固定点Nisnevich位相は、固定点を通じた等変局所的弱同値の検出を可能にし、安定同値のための位相的に便利な枠組みを提供する。
• モチビック固定点関手および幾何的固定点関手は、等変安定弱同値を検出でき、古典的結果をモチビック設定に一般化する。
• 等変代数的K理論はH-Nisnevich位相に関して下降を満たさない。これはK^et(Spec(R))におけるブローバー群の torsion に起因する矛盾によって示される。
• 同様の反例は、Serpé (2010) の等変同型位相に関する下降の主張をも無効にし、等変同型Nisnevich被覆がK理論に対して下降を意味しないことを示す。
• 下降の失敗は、ブローバー群における非自明な l-torsion に起因し、これは下降スペクトル系列およびCechナーブのホモトピー極限によって検出可能である。