[論文レビュー] Estimate of the Fundamental Solution for Parabolic Operators with Discontinuous Coefficients

Michele Di Cristo, Kyoungsun Kim+1 more|ArXiv.org|Jun 24, 2009

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、発散型で不連続な係数をもつ放物型作用素の基本解の鋭い勾配推定を確立する。Li-Nirenbergの議論の修正版を用いて、解の空間勾配に対する内部 $L^∞$ 界を証明することで、鍵となる推定式 $| abla_x au(x,t;y,s)| \leq C(t-s)^{-(n+1)/2} \exp(-c|x-y|^2/(t-s))$ を得た。これは、不連続な包含物をもつ熱伝導性媒体における逆問題において不可欠である。

ABSTRACT

We will show that the same type of estimates known for the fundamental solutions for scalar parabolic equations with smooth enough coefficients hold for the first order derivatives of fundamental solution with respect to space variables of scalar parabolic equations of divergence form with discontinuous coefficients. The estimate is very important for many applications. For example, it is important for the inverse problem identifying inclusions inside a heat conductive medium from boundary measurements.

研究の動機と目的

• 不連続で有界かつ一様強楕円型の係数をもつスカラー放物型作用素の基本解の勾配推定を確立すること。
• 基本解の点ごとの推定を、その一次空間微分へと拡張すること。
• 境界測定値から不連続な包含物を同定する逆問題の理論的基盤を提供すること。
• 不連続係数をもつ放物型方程式の解に対する内部正則性推定を一般化し、包含物が境界に接していても適用可能であるようにすること。

提案手法

• 楕円型系に対するLi-Nirenberg法を放物型設定に適応し、スケーリング、平行移動、回転を用いて問題を原点における局所的推定に還元する。
• 文献[7]の補題4.3の修正版を用いて、$C^\mu$ に属する領域における係数行列 $A$ の Hölder 範囲を制御する。
• 解 $u$ の $|\nabla_x u|$ に対する内部 $L^\infty$ 界を、より大きな放物型円筒上の $u$ の $L^2$ 範囲に関して導出する。
• ディリクレ境界条件をもつ二層構造の立方体におけるグリーン関数の存在と推定を、基礎的道具として用いる。
• 部分積分と複素解析的手法を適用し、基本解のフーリエ表現から生じる振動的積分を制御する。
• 周波数領域における記号およびその逆の挙動を分析することで、基本解およびその勾配に対する点ごとの指数的減衰推定を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な放物型方程式の基本解の勾配推定が、不連続係数の場合に拡張可能か。
• RQ2 不連続かつ一様強楕円型係数をもつ放物型作用素に対して、解の空間勾配に対する内部 $L^\infty$ 界が成立するか。
• RQ3 このような勾配推定を用いて、逆問題における動的プローブ法を厳密に正当化可能か。
• RQ4 不連続性をもつ領域における $C^\mu$-正則性を仮定した場合、基本解の正則性は保存されるか。
• RQ5 この推定は、系や低次の項をもつ作用素へと拡張可能か。

主な発見

• すべての $t>s$ およびほとんど至るところの $x,y\in D$ に対して、勾配推定式 $|\nabla_x \Gamma(x,t;y,s)| \leq C(t-s)^{-(n+1)/2} \exp(-c|x-y|^2/(t-s))$ が成り立ち、$C$ は $n$ と係数行列 $A$ のみに依存する。
• この推定は、解 $u$ の $|\nabla_x u|$ に対する内部 $L^\infty$ 界から導出され、その証明はLi-Nirenbergの議論の局所化版に基づく。
• 証明は、ディリクレ境界条件をもつ二層構造の立方体におけるグリーン関数の存在と点ごとの推定に依存する。
• 勾配推定は、境界値逆問題の安定性解析および動的プローブ法の収束性において極めて重要である。
• 結果は、放物型系および低次の項をもつ作用素へと拡張可能であり、註記1.2に述べられている通りである。
• 包含物が境界に接していても、内部推定の頑健性により、この方法は依然として有効である。