[論文レビュー] Estimates for moments of supremum of reflected fractional Brownian motion

Krzysztof Dȩbicki, Agata Tomanek|ArXiv.org|Dec 16, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Hurstenパラメータ H ∈ (0,1] を持つ反射型分数 Browm運動の γ 階モーメントの上限と下限を鋭く導出する。ガウス過程比較および自己相似性を用いて、定数がガンマ関数およびディリクレのベータ関数を含む T^{γH} に比例する下限および上限を確立する。H = 1/2 および H = 1 の場合に正確な式が得られ、それらは特殊関数およびオイラー数と関連づけられる。

ABSTRACT

Let $B_H(\cdot)$ be a fractional Brownian motion with Hurst parameter $H\in(0,1]$. Motivated by applications to maximal inequalities for fractional Brownian motion, in this note we derive bounds for K_T(H,γ):=E[\sup_{t\in[0,T]}|B_H(t)|]^γ, with $γ, T>0$.

研究の動機と目的

• 区間 [0,T] 上での反射型分数 Browm運動の γ 階モーメントの上限について、漸近的でない境界を導出すること。
• K_T(H,γ) = E[sup_{t∈[0,T]} |B_H(t)|]^γ の正確な表現が不足していること、これは最大不等式において重要であることを解決すること。
• 特に H < 1/2 と H ≥ 1/2 を区別する形で、T および H における鋭いスケーリング行動を確立すること。
• H = 1/2 および H = 1 の特別な場合における K_T(H,γ) の正確な値を計算し、それらを数論的定数と関連づけること。
• 既知のオイラー数に関する不等式を、上限のモーメント境界との比較によって回復すること。

提案手法

• 分数 Browm運動の自己相似性を活用し、K_T(H,γ) を K_1(H,γ) × T^{γH} に簡約する。
• Slepian の不等式を適用し、中心化されたガウス過程で増分が定常であるものの上限を標準 Browm 動作と比較する。
• 分散関数 σ²_X(t) の凹性・凸性を用いて、E[sup X(t)]^γ の下限・上限を導出する。
• 反射原理と Browm 動作の既知の尾確率を用いる：P(sup_{t∈[0,1]} B_{1/2}(t) > x) = 2Ψ(x)。
• 上限分布の級数展開における和と積分の交換を保証するため、Lebesgue の収束定理を適用する。
• 二重積分における変数変換を実行し、I_k = ∫₀^∞ x^{γ−1} ∫_{x(2k+1)/√2}^∞ e^{-s²} ds dx を評価し、ガンマ関数の表現を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H ∈ (0,1] および γ,T > 0 のとき、E[sup_{t∈[0,T]} |B_H(t)|]^γ に対するタイトな境界は何か？
• RQ2 モーメント K_T(H,γ) のスケーリング行動は H にどのように依存するか。特に H < 1/2 と H ≥ 1/2 を区別する場合の挙動は？
• RQ3 H = 1/2 および H = 1 における K_T(H,γ) に対して正確な式を導出可能か？
• RQ4 分数 Browm運動の上限モーメントとディリクレのベータ関数などの特殊関数との間にどのような関係があるか？
• RQ5 既知のオイラー数に関する不等式は、分数 Browm運動の上限モーメントの境界から回復可能か？

主な発見

• H < 1/2 の場合、K_T(H,γ) ≥ T^{γH} × (1/√π) × 2^{γ/2} × Γ((γ+1)/2) が成り立ち、H に依存しない下限を与える。
• H ≥ 1/2 の場合、K_T(H,γ) は T^{γH} × (1/√π) × 2^{γ/2} × Γ((γ+1)/2) から T^{γH} × (1/√π) × 2^{γ/2 + 1} × Γ((γ+1)/2) の間で有界であり、タイトなスケーリングを示す。
• H = 1/2 の場合、K_T(1/2,γ) = T^{γ/2} × (1/√π) × 2^{1 + γ/2} × Γ((γ+1)/2) × β(γ) が成り立ち、β(γ) はディリクレのベータ関数である。
• H = 1 の場合、K_T(1,γ) = T^γ × (1/√π) × 2^{γ/2} × Γ((γ+1)/2) となり、スケーリングされた正規乱数のモーメントと一致する。
• 正確な値 K_1(1/2,1) = √(π/2) および K_1(1/2,2) がカタラン定数に一致し、既知の特殊値を確認する。
• H = 1/2 および奇数の γ に対して上界が、既知の不等式 |E_{2n}| ≤ 4^{n+1}(2n)!/π^{2n+1} をオイラー数について回復する。