[論文レビュー] Estimates for the closeness of convolutions of probability distributions on convex polyhedra

Friedrich Götze, A. Yu. Zaîtsev|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2018

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、d次元空間における凸多面体上に定義された確率分布の連続畳み込みの近接度について、非一様な境界を確立する。ArakおよびZaitsevの手法を多次元設定に拡張し、n重畳み込みとそれに伴う複合ポアソン分布との間のコルモゴロフ距離に対する明示的な推定値を導出。分布のm方向への射影の濃度関数に依存する衰減率を示し、対称的および正の分布に対してはより良い衰減率を得る。主な貢献は、幾何的および確率的パラメータに明示的な依存関係を持つ、多面体集合上での収束を定量化する不等式の族の確立である。

ABSTRACT

The aim of the present work is to show that the results obtained earlier on the approximation of distributions of sums of independent summands by the accompanying compound Poisson laws and the estimates of the proximity of sequential convolutions of multidimensional distributions may be transferred to the estimation of the closeness of convolutions of probability distributions on convex polyhedra.

研究の動機と目的

• d次元空間における凸多面体上に定義された分布に対する、独立な確率的ベクトルの和の複合ポアソン分布による近似に関する既存結果を、d次元空間における凸多面体上に定義された分布のケースに拡張すること。
• 凸多面体集合上における分布の畳み込みとその近似複合ポアソン分布との間のコルモゴロフ距離 ρm(G, H) に対する非一様境界を導出すること。
• 多面体集合上における F^n と F^{n+1} の収束速度を定量化すること、特に対称的および正の分布に対して注目すること。
• d次元分布のm次元射影に関する、一様および非一様近似に関する以前の結果を、m次元射影への一般化すること。
• 凸多面体集合上におけるi.i.d.確率的ベクトルの確率的個数の和の分布に対する境界を確立すること。

提案手法

• m変数版の三角関数法およびその一般化を用い、m方向 tj ∈ Rd に対して X = {x ∈ Rd : aj ≤ ⟨x, tj⟩ ≤ bj} の形をした集合上における分布の近接度を分析する。
• 分布Hの方向tへの射影の集合X上での広がりを測る幾何的濃度関数 q(H, X) = inf_{||t||=1} Q(L(⟨ξ,t⟩), λ({⟨x,t⟩: x∈X})) を導入する。
• |G{X} − H{X}| ≤ c(m) ε の形の境界を適用し、εは濃度関数および対数項に依存する。これにより、ρm(G, H) = sup_{X∈Xm} |G{X} − H{X}| の非一様推定値を導出する。
• n重畳み込み F^n とそれに伴う複合ポアソン分布 e(nF) の距離に関する不等式を確立し、n^{-1}、濃度関数 q1、および対数補正項に依存する衰減率を得る。
• Gi = (1−pi)E + piVi の形の混合分布に対して境界を導出し、距離が p = max pi に対して線形に減少することを示す。
• d次元の対称的または正の分布のm方向への射影が、F_d^{(α)} や F_d^+ に属することを用い、1次元で既知の境界をm次元射影問題に適用可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d次元分布 F ∈ F_d^{(α)} の連続畳み込みが、凸多面体集合上におけるそれに伴う複合ポアソン分布にどの程度速く収束するか？
• RQ2 凸多面体 X ∈ Xm に対して |(F^n){X} − (F^{n+1}){X}| の衰減率は何か？ これはXの幾何構造および分布Fにどのように依存するか？
• RQ3 射影分布の濃度関数を組み込むことで、多面体集合上におけるコルモゴロフ距離の非一様境界を改善できるか？
• RQ4 ρm(F^n, F^{n+k}) が O(n^{-1/2}) より速く衰える条件は何か？ これは分布Fの対称性および正の性質にどのように依存するか？
• RQ5 i.i.d.ベクトルの確率的個数の和の分布に対する境界は、確率的インデックスの分布および多面体集合の幾何構造にどのように依存するか？

主な発見

• F ∈ F_d^{(α)} かつ 0 ≤ α ≤ 2 のとき、任意の X ∈ Xm に対して |(F^n){X} − D{X}| ≤ c(m) [n^{-1} q_1^{1/5} (|log q_1| + 1)^{(17m+24)/5} + exp(−nα + c m log^3 n)] が成り立つ。ここで D = e(nF) かつ q_1 = q(D, X) である。
• 同じクラスに対して、|(F^n){X} − (F^{n+1}){X}| ≤ c(m) [n^{-1} q_1^{1/3} (|log q_1| + 1)^{3m+2} + exp(−nα + c m log^3 n)] が確立され、濃度関数 q_1 が小さい場合により速い衰減が得られることを示す。
• 対称的分布 F ∈ F_s^d の場合、ρ_m(F^n, e(nF)) ≤ c(m) n^{-1/2} が成り立ち、一般の場合の O(n^{-1}) よりも速い収束を示す。
• 混合分布 Gi = (1−pi)E + piVi に対して、p = max pi のとき、|G{X} − D{X}| ≤ c(m) q_2^{1/3} (|log q_2| + 1)^{3m+2} p が成り立つ。ここで D = e(G_1 * ... * G_n) であり、p に対して線形依存であることが示される。
• m方向への射影が非退化または一点に退化する分布に対して、任意の X ∈ X(t_1, ..., t_m) に対して |(F^n){X} − (F^{n+1}){X}| ≤ c(F, t_1, ..., t_m) n^{-1/2} が成り立つ。これは、やや弱い条件下でも普遍的な O(n^{-1/2}) の衰減率を示している。
• i.i.d.ベクトルの確率的個数の和に対して、F ∈ F_d^+ のとき ρ_m(G, H) ≤ inf_E min{ c(m) |μ−ν|/(ν+1), 1 } が成り立ち、F ∈ F_s^d のとき ρ_m(G, H) ≤ inf_E min{ c(m)/√(ν+1) + c(m)|μ−ν|/(ν+1), 1 } が成り立つ。これは、確率的インデックスの平均および分散に依存する衰減を示している。