[論文レビュー] Estimates of the coverage of parameter space by Latin Hypercube and Orthogonal sampling: connections between Populations of Models and Experimental Designs

Diane Donovan, Kevin Burrage+4 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2015

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、n = p^d の条件下で、数え上げ的議論と漸近解析を用いて、ラテンハイパーキューブサンプリング（LHS）と直交サンプリング（OS）が、d次元パラメータ空間に対して同一の期待被覆率を提供することを解析的に確立している。さらに、t次元部分空間への投影において、期待被覆率はdに依存せずtにのみ依存し、被覆率は1 − exp(−kλ)に漸近的に近づくことが示され、ここでt ≥ 2のときλ = 1/n^{t−1}である。この予測は、シミュレーションによって確認された。

ABSTRACT

In this paper we use counting arguments to prove that the expected percentage coverage of a $d$ dimensional parameter space of size $n$ when performing $k$ trials with either Latin Hypercube sampling or Orthogonal sampling (when $n=p^d$) is the same. We then extend these results to an experimental design setting by projecting onto a 2 dimensional subspace. In this case the coverage is equivalent to the Orthogonal sampling setting when the dimension of the parameter space is two. These results are confirmed by simulations. The ideas presented here have particular relevance when attempting to perform uncertainty quantification or when building populations of models.

研究の動機と目的

• ラテンハイパーキューブサンプリング（LHS）と直交サンプリング（OS）が、d次元パラメータ空間に対して同一の期待被覆率をもたらすかどうかを特定すること。
• 高次元のサンプルを低次元部分空間に投影した際の期待被覆率を分析し、特に実験的設計への応用を念頭におくこと。
• 漸近展開と組合せ的数え上げを用いて、被覆率誤差の理論的境界を確立すること。
• さまざまな次元とサンプルサイズにおいて、理論的結果をシミュレーションで検証すること。
• 不確実性の定量化とモデルの集合に基づくフレームワークを、厳密なサンプリング被覆保証とともに支援すること。

提案手法

• n = p^d の条件下で、OSに対して期待被覆率を比較するための数え上げ的議論を用いる。
• 誤差境界を導出するための漸近解析を適用し、誤差をE₁およびE₂の2つの成分に分解する。
• 期待被覆率をP(k,n) ∼ 1 − exp(−kλ)として導出し、全空間ではλ = 1/n^{d−1}、2次元への投影ではλ = 1/nとする。
• サンプルをt次元部分空間に投影し、一般のtに対してP(k,n) ∼ 1 − exp(−kλ)、λ = 1/n^{t−1}として被覆行動を導出する。
• スターリングの公式と二項係数の上限を用いて、kλ ≤ Cn の条件下でE₁およびE₂が漸近的に無視可能であることを示す。
• d = 5次元において、t = 2, 3, 4次元部分空間への投影に関して、理論的予測と一致するシミュレーションを実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n = p^d のとき、ラテンハイパーキューブサンプリングと直交サンプリングは、d次元パラメータ空間に対して同一の期待被覆率をもたらすか？
• RQ2 高次元のサンプルをt次元部分空間に投影した場合、パラメータ空間の期待被覆率はどのように変化するか？
• RQ3 LHSおよびOSの期待被覆率の漸近的形は何か？また、試行回数kとパラメータ空間サイズnにどのように依存するか？
• RQ4 組合せ的および漸近的技術を用いて、LHSおよびOSの被覆率誤差を境界づけられるか？また、現実的なサンプリング条件下でこれらの境界はきついのか？
• RQ5 部分空間への投影された被覆率のシミュレーション結果は、理論的予測P(k,n) ∼ 1 − exp(−kλ)、λ = 1/n^{t−1}と一致するか？

主な発見

• LHSおよびOSの両方の期待被覆率は、漸近的に等しく、1 − exp(−kλ)で与えられ、ここでλ = 1/n^{d−1}は全d次元空間に対して成り立つ。
• 2次元部分空間への投影において、期待被覆率はλ = 1/nの下で1 − exp(−kλ)であり、元の次元dに依存しない。
• 理論的被覆モデルP(k,n) ∼ 1 − exp(−kλ)は、kλ² → 0 の条件下で成り立ち、誤差項E₁およびE₂が漸近的に無視可能であることが示された。
• シミュレーションにより、log(試行回数) 対 log(n) の勾配がt = 2, 3, 4のときt−1に一致し、被覆率の上限に近づくと重複が増加するためわずかなずれが生じた。
• t次元部分空間への投影において、被覆行動は元のパラメータ空間の次元dに依存せず、tとnにのみ依存する。
• 解析により、LHSおよびOSが同一の期待被覆率を達成することが確認され、不確実性の定量化およびモデルの集合フレームワークにおける相互交換可能性が裏付けられた。