[論文レビュー] Estimating heavy-tail exponents through max self-similarity

Stilian Stoev, George Michailidis+1 more|ArXiv.org|Sep 6, 2006

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ブロック最大値における最大自己同一性を用いて、重い尾部指数 α を推定する新しい手法を提案する。dyadicブロックサイズにおける対数ブロック最大値のスケーリングレートを分析することで、回帰ベースの推定に用いる最大スペクトルプロットを構築し、弱い尾部条件のもとで一貫性および漸近正規性を達成する。シミュレーションおよび保険・天然ガスデータの実データ応用において、古典的ヒルプロットよりも優れたロバスト性を示す。

ABSTRACT

In this paper, a novel approach to the problem of estimating the heavy-tail exponent alpha>0 of a distribution is proposed. It is based on the fact that block-maxima of size m of the independent and identically distributed data scale at a rate of m^{1/alpha}. This scaling rate can be captured well by the max-spectrum plot of the data that leads to regression based estimators. Consistency and asymptotic normality of these estimators is established under mild conditions on the behavior of the tail of the distribution. The results are obtained by establishing bounds on the rate of convergence of moment-type functionals of heavy-tailed maxima. Such bounds often yield exact rates of convergence and are of independent interest. Practical issues on the automatic selection of tuning parameters for the estimators and corresponding confidence intervals are also addressed. Extensive numerical simulations show that the proposed method proves competitive for both small and large sample sizes and for a large range of tail exponents. The method is shown to be more robust than the classical Hill plot and is illustrated on two data sets of insurance claims and natural gas field sizes.

研究の動機と目的

• 重い尾部指数 α を推定するための古典的ヒル推定量の代替として、よりロバストな手法を開発すること。
• 実世界のデータにおける閾値選択への感度およびモデルのずれに対するヒルプロットの感受性を是正すること。
• 弱い尾部条件のもとで、提案された推定量の理論的一貫性および漸近正規性を確立すること。
• 自動チューニングパラメータ選択および信頼区間構築のための実用的ツールを提供すること。
• 特にモデルの誤指定下でも、既存の手法に比べて優れた性能を示す、小標本および大標本における性能を実証すること。

提案手法

• 本手法は最大自己同一性の性質に基づく：i.i.d.標本のもとで、サイズ m のブロック最大値は、m^{1/α} のレートでスケーリングする。
• N までの dyadicブロックサイズ m = 2^j（j = 1 から log₂N まで）を用い、対数ブロック最大値のスケーリングを分析する。
• 最大スペクトルプロットは、ブロックサイズの対数とその対数ブロック最大値の経験的平均の関係を可視化し、勾配推定値から α を得る。
• 最大スペクトルプロットにおける回帰により、α の一貫性および漸近正規性を持つ推定量が得られる。
• 重い尾部の最大値に関するモーメントバウンドを活用し、これらは独立に価値のあるものであり、正確な収束レートを導出する。
• 実装には、漸近分散推定を用いた自動バンド幅選択および信頼区間構築が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブロック最大値における最大自己同一性は、古典的ヒル推定量よりも重い尾部指数 α の推定においてよりロバストな推定量を提供できるか？
• RQ2 弱い尾部条件のもとで、提案された最大スペクトル回帰推定量の理論的性質（一貫性および漸近正規性）は何か？
• RQ3 有限標本、特に小標本および非パレート分布下での本手法の性能はいかがなものか？
• RQ4 実用的に、本手法はチューニングパラメータを自動的に選択し、信頼性の高い信頼区間を提供できるか？
• RQ5 多様な尾部指数の下で、最大スペクトル推定量はヒルプロットおよびカーネルベース推定量と比べてバイアスおよび分散の点でどのように差を示すか？

主な発見

• 提案された最大スペクトル推定量は、分布の尾部挙動に関する弱い条件下でも一貫性および漸近正規性を有する。
• 本手法は、特にデータがパレートモデルから逸脱する場合に、古典的ヒルプロットよりも顕著に優れたロバスト性を示す。
• 数値的シミュレーションでは、小標本および大標本、および広範な尾部指数の範囲で競争力のある性能を示す。
• 重い尾部の最大値に関するモーメント型関数型の新しいバウンドを用いることで、正確な収束レートが達成される。
• 本手法は、保険請求および天然ガス貯留量の2つの実世界データセットにおいても、安定的かつ信頼性のある結果を得て、α を適切に推定した。
• 最大スペクトルプロットにより、チューニングパラメータの自動選択および信頼性の高い信頼区間の構築が可能となり、ヒルプロットの主要な限界を克服した。