[論文レビュー] Estimation of the marginal expected shortfall under asymptotic independence

Juan‐Juan Cai, Eni Musta|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2017

Hydrology and Drought Analysis参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、正の関連性を示す漸近的独立性の下で、尾部依存係数 η ∈ (1/2, 1) を用いて、周辺期待ショートフォールド（MES）の新しい推定量を提案する。正則変動および2次条件のもとで、推定量の漸近正規性を確立し、変数が漸近的に独立であっても、極値が高頻度に同時に発生する重尾リスクに対し、有効な推論を可能にする。

ABSTRACT

We study the asymptotic behavior of the marginal expected shortfall when the two random variables are asymptotic independent but positive associated, which is modeled by the so-called tail dependent coefficient. We construct an estimator of the marginal expected shortfall which is shown to be asymptotically normal. The finite sample performance of the estimator is investigated in a small simulation study. The method is also applied to estimate the expected amount of rainfall at a weather station given that there is a once every 100 years rainfall at another weather station nearby.

研究の動機と目的

• 漸近的独立性かつ正の関連性を示す場合における、周辺期待ショートフォールド（MES）の有効な推定量の欠如を解決すること。
• 2つのリスク要因が漸近的に独立であるが、正の尾部依存係数 η を通じて強い極値的依存を示す状況において、理論的根拠に基づくMES推定量を構築すること。
• 尾部挙動の正則変動および2次条件のもとで、提案された推定量の漸近正規性を確立すること。
• 従来の手法が失敗する重尾的で漸近的に独立なモデルにおけるMES推論のための枠組みを提供すること。
• シミュレーションスタディおよび実データへの応用を通じて、手法の適用可能性を提示すること。

提案手法

• 漸近的独立性下での正の関連性を、尾部依存係数 η ∈ (1/2, 1) を用いてモデル化する。
• X の周辺分布がフリーチェ領域に属するものと仮定し、正則変動パラメータ γ₁ > 0 を持つ重い右尾部を示すものとする。
• 高次の順序統計に基づく推定量を定義し、k/n → 0 (n → ∞) となるしきい値 k を用いることで、漸近的妥当性を保証する。
• Y の高値超過におけるXの正規化された経験平均を用いて推定量を構築し、一般化されたパレート近似を用いて正規化を行う。
• 弱収束およびモーメント条件に依拠して、正規化された経験過程の収束がガウス過程に至ることを証明することで、漸近正規性を確立する。
• 尾部挙動および極値的依存の2次条件（A1–A3）を用いてバイアスを制御し、収束速度を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのリスク要因が漸近的に独立であるが正の関連性を示す場合、周辺期待ショートフォールド（MES）は漸近的にどのように振る舞うか？
• RQ2 漸近的独立性かつ正の尾部依存係数を有する状況のもとで、一貫的かつ漸近正規なMES推定量を構築できるか？
• RQ3 提案された推定量が漸近正規性を達成するための正則性条件は何か？
• RQ4 尾部依存係数 η ∈ (1/2, 1) は、MESの漸近分布の速度および形にどのように影響を与えるか？
• RQ5 重尾的かつ弱い自己相関を示す極値の下で、有限標本における推定量の性能はいかがなものか？

主な発見

• 仮定されたモデルのもとで、周辺期待ショートフォールド（MES）が非退化限界に収束することが示され、その限界は尾部依存係数 η および正則変動パラメータ γ₁ に依存する。
• 提案されたMES推定量は漸近正規であり、収束速度は (n/k)^{-1/(2η) + 1/2} のオーダーであり、η および尾指数 γ₁ に依存する。
• 推定量の漸近分散は、極限的依存関数 c(x,y) を含む積分で特徴づけられ、具体的には σ²_N = -∑_{j,k=1}^M (a_j a_k)/(y_j y_k) ∫₀^∞ c(x, y_j ∧ y_k) d x^{-2γ₁} で与えられる。
• シミュレーションスタディの結果、さまざまな η および γ₁ の値のもとで、推定量は有限標本でも良好に機能し、名目水準に近い被覆確率を示した。
• 極端な降雨データへの応用において、近隣の観測所で100年一度のイベントが発生した場合に、ある観測所での期待降雨量を適切に推定できた。実用的意義を示している。
• 理論的結果から、漸近的独立性下でも、正の強い関連性（η ∈ (1/2, 1)）が、X が重い尾部を持つ場合に大きなMES値を生じさせることを示しており、独立性を超えた極値的依存のモデル化の重要性が浮き彫りになった。