[論文レビュー] ETH-Hardness of Approximating 2-CSPs and Directed Steiner Network

Irit Dinur, Pasin Manurangsi|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、変数の数 $k$ を用いて $k^{1-o(1)}$ 因子内での 2-CSP の近似について ETH-hardness を確立する。これは、困難な 2-CSP インスタンスを有向スティーナー・ネットワーク（DSN）インスタンスに還元することで達成される。ETH の下では、ほぼ線形近似より良い結果を得る多項式時間アルゴリズムは存在せず、これは自明な $O(k)$-近似にほぼ一致する。この結果は、Gap-ETH の下でも FPT アルゴリズムにまで拡張される。

ABSTRACT

We study the 2-ary constraint satisfaction problems (2-CSPs), which can be stated as follows: given a constraint graph $G=(V,E)$, an alphabet set $Σ$ and, for each $\{u, v\}\in E$, a constraint $C_{uv} \subseteq Σ imesΣ$, the goal is to find an assignment $σ: V o Σ$ that satisfies as many constraints as possible, where a constraint $C_{uv}$ is satisfied if $(σ(u),σ(v))\in C_{uv}$. While the approximability of 2-CSPs is quite well understood when $|Σ|$ is constant, many problems are still open when $|Σ|$ becomes super constant. One such problem is whether it is hard to approximate 2-CSPs to within a polynomial factor of $|Σ| |V|$. Bellare et al. (1993) suggested that the answer to this question might be positive. Alas, despite efforts to resolve this conjecture, it remains open to this day. In this work, we separate $|V|$ and $|Σ|$ and ask a related but weaker question: is it hard to approximate 2-CSPs to within a polynomial factor of $|V|$ (while $|Σ|$ may be super-polynomial in $|V|$)? Assuming the exponential time hypothesis (ETH), we answer this question positively by showing that no polynomial time algorithm can approximate 2-CSPs to within a factor of $|V|^{1 - o(1)}$. Note that our ratio is almost linear, which is almost optimal as a trivial algorithm gives a $|V|$-approximation for 2-CSPs. Thanks to a known reduction, our result implies an ETH-hardness of approximating Directed Steiner Network with ratio $k^{1/4 - o(1)}$ where $k$ is the number of demand pairs. The ratio is roughly the square root of the best known ratio achieved by polynomial time algorithms (Chekuri et al., 2011; Feldman et al., 2012). Additionally, under Gap-ETH, our reduction for 2-CSPs not only rules out polynomial time algorithms, but also FPT algorithms parameterized by $|V|$. Similar statement applies for DSN parameterized by $k$.

研究の動機と目的

• 変数の数 $k$ に対してアルファベットサイズ $n$ が超多項式的である場合の 2-CSP の近似不可能性を解明すること。
• 2-CSP の $k$ の多項式因子内での近似が、NP-hardness よりも強い仮定の下で困難であるかどうかを調査すること。
• 2-CSP からの還元を用いて、有向スティーナー・ネットワーク（DSN）問題の近似不可能性結果を確立すること。
• Gap-ETH 仮定の下で、2-CSP および DSN に対する固定パrameter tractable（FPT）アルゴリズムが排除可能かどうかを検討すること。

提案手法

• 完全性と音声性の性質を保つように、困難な 2-CSP インスタンスを有向スティーナー・ネットワーク（DSN）インスタンスに還元する。
• 指数時間仮説（ETH）を用いて、任意の $\rho > 0$ に対して、多項式時間アルゴリズムが 2-CSP を $k^{1-1/( ext{log} k)^{1/2 - \rho}}$ 因子内に近似できないことを示す。
• $k'$ 個の需要ペアを持つ DSN インスタンスを構築し、ETH の下で近似比が $k'^{1/4 - o(1)}$ であることを示す。
• Gap-ETH を適用して結果を強化し、2-CSP および DSN に対して、$k$ をパラメータとする FPT アルゴリズム（実行時間 $t(k) \cdot (nk)^{O(1)}$）を排除する。
• 既知の 2-CSP から DSN への還元を活用し、近似不可能性結果を移転する。
• 還元の完全性と音声性を分析することで、近似比が硬さ仮定の下で保持されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変数の数 $k$ に対してアルファベットサイズ $n$ が $k$ に対して超多項式的であっても、$k^{1-o(1)}$ 因子内での 2-CSP の近似が ETH-hard であるか？
• RQ2 2-CSP の近似不可能性結果は、Gap-ETH のようなより強い仮定の下で、$k$ をパラメータとする FPT アルゴリズムを排除するために拡張可能か？
• RQ3 2-CSP から DSN への還元は、近似不可能性比を保持するか？ これにより、$k$ 個の需要ペアに対して $k^{1/4-o(1)}$-硬さが得られるか？
• RQ4 還元におけるアルファベットサイズ $n$ と変数の数 $k$ 間の依存関係を、$n = 2^{2^{(\log k)^d}}$ から $n = k^{\text{polylog} k}$ のようなより穏やかな関数に改善可能か？
• RQ5 Densest $k$-Subgraph などの他の問題に対しても、同様に $k^{1-o(1)}$ 因子での ETH 近似硬さを証明可能か？

主な発見

• 指数時間仮説（ETH）の下では、任意の $\rho > 0$ に対して、多項式時間アルゴリズムが 2-CSP を $k^{1-1/( ext{log} k)^{1/2 - \rho}}$ 因子内に近似できない。これは $k$ に対してほぼ線形である。
• この結果は、$k$ 個の需要ペアに対して、有向スティーナー・ネットワーク（DSN）問題が $k^{1/4 - o(1)}$ 因子内に近似できないことを示唆する。
• より強い Gap-ETH 仮定の下では、2-CSP および DSN に対して、$k$ をパラメータとする多項式時間アルゴリズムだけでなく、実行時間 $t(k) \cdot (nk)^{O(1)}$ の FPT アルゴリズムも排除される。
• 還元の完全性により、元の 2-CSP インスタンスの値が 1 であれば、DSN インスタンスの値も 1 であることが保証される。
• 還元の音声性により、2-CSP インスタンスの値が $2^{(\log k)^{1/2 + \rho}}/k$ 未満であれば、DSN インスタンスの値は $\sqrt{2k / 2^{(\log k)^{1/2 + \rho}}}$ 以上である。これは十分に大きな $k$ に対して、$(k')^{1/4}/2^{(\log k')^{1/2 + \rho'}}$ 以上である。
• 本稿では、還元におけるアルファベットサイズ $n$ と $k$ 間の依存関係が、$n = 2^{2^{(\log k)^d}}$ であるため、最適でないことが示され、$n = k^{\text{polylog} k}$ への改善を求める未解決の問題が提起されている。