[论文解读] Euclidean geometry as algorithm for construction of generalized geometries

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|Nov 23, 2005

Mathematics and Applications参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新方法，通过其世界函数对欧几里得几何进行变形，从而构建广义几何——如相对论性或量子类的时空。通过用一个修改后的世界函数替代欧几里得世界函数，所有几何构造均继承欧几里得算法的逻辑结构，从而产生自然表现出与质量相关的随机粒子运动的确定性几何。当形变参数设为 $ d = \hbar/(2bc) $ 时，该随机性的统计描述重现了薛定谔方程，为量子现象提供了无需假设量子原理的几何基础。

ABSTRACT

It is shown that the generalized geometries may be obtained as a deformation of the proper Euclidean geometry. Algorithm of construction of any proposition S of the proper Euclidean geometry E may be described in terms of the Euclidean world function sigma_E in the form S(sigma_E). Replacing the Euclidean world function sigma_E by the world function sigma of the geometry G, one obtains the corresponding proposition S(sigma) of the generalized geometry G. Such a construction of the generalized geometries (known as T-geometries) uses well known algorithms of the proper Euclidean geometry and nothing besides. This method of the geometry construction is very simple and effective. Using T-geometry as the space-time geometry, one can construct the deterministic space-time geometries with primordially stochastic motion of free particles and geometrized particle mass. Such a space-time geometry defined properly (with quantum constant as an attribute of geometry) allows one to explain quantum effects as a result of the statistical description of the stochastic particle motion (without a use of quantum principles).

研究动机与目标

• 开发一种基于欧几里得几何的系统化、算法化广义几何构造方法。
• 解决不引入量子原理而解释量子随机性这一基础性问题。
• 构建一种确定性时空几何，其中粒子运动本质上是随机的，且随机性取决于粒子质量。
• 证明薛定谔方程可作为该几何随机性的统计极限。
• 以时空结构为基础，用几何基础替代量子力学中的临时假设。

提出的方法

• 该方法使用世界函数 $ \sigma $（定义为距离平方的一半）作为基本几何对象，而非点集。
• 所有欧几里得几何中的几何构造均被重新表述为作用于 $ \sigma_{\mathrm{E}} $（欧几里得世界函数）的算法。
• 通过将 $ \sigma_{\mathrm{E}} $ 替换为新的世界函数 $ \sigma $，获得广义几何，同时保持算法结构不变。
• 由此产生的几何称为 T-几何，其为确定性几何，但由于时空形变，粒子轨迹表现出内在随机性。
• 形变参数 $ d $ 通过 $ d = \hbar/(2bc) $ 与量子常数关联，从而将几何与量子力学联系起来。
• 对这种几何中随机粒子路径进行统计平均，可重现薛定谔方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用单一统一的算法框架，从欧几里得几何构造广义几何？
• RQ2 如何从确定性时空几何中自然涌现出特征为量子系统的随机粒子运动？
• RQ3 在几何框架下，粒子质量在决定自由粒子运动随机性程度方面起什么作用？
• RQ4 薛定谔方程能否作为确定性几何模型中粒子运动随机性的统计极限推导得出？
• RQ5 是否存在将量子常数 $ \hbar $ 解释为时空内在属性的几何意义？

主要发现

• 世界函数 $ \sigma $ 完全决定了欧几里得几何的结构，使其成为唯一的 fundamental 几何对象。
• 将 $ \sigma_{\mathrm{E}} $ 替换为形变后的世界函数 $ \sigma_{\mathrm{d}} $，可生成广义几何 $ \mathcal{G}_{\mathrm{d}} $，其保留所有欧几里得算法。
• 在形变几何 $ \mathcal{G}_{\mathrm{d}} $ 中，自由粒子世界线表现出特征角 $ \vartheta_{\mathrm{dM}} \approx \sqrt{2d}/\mu_{\mathrm{d}} $ 的随机抖动，其依赖于质量 $ \mu_{\mathrm{d}} $ 和形变 $ d $。
• 当 $ d = \hbar/(2bc) $ 时，$ \mathcal{G}_{\mathrm{d}} $ 中随机粒子运动的统计描述重现了薛定谔方程。
• 由此产生的模型称为量子现象的模型观念（MCQP），具有洛伦兹不变性，并为量子理论提供了几何基础。
• 闵可夫斯基几何是 $ \mathcal{G}_{\mathrm{d}} $ 的极限情况，但 $ \mathcal{G}_{\mathrm{d}} $ 更为根本，因其自然地包含了类量子行为。