[論文レビュー] Euler sums of generalized hyperharmonic numbers

Ce Xu|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2017

Advanced Mathematical Identities被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、一般化ハイパーハーモニック数 $ h_n^{(m)}(k) $ を含むオイラー和の閉形式評価を導出し、リーマン・ゼータ関数の値と調和数の積の有理数線形結合として表現する。$ k = 2,3 $ の場合、第一種スターリング数と多重ゼータ値を用いて明示的な公式を確立し、古典的オイラー和に関する先行研究を拡張する。

ABSTRACT

The generalized hyperharmonic numbers $h_n^{(m)}(k)$ are defined by means of the multiple harmonic numbers. We show that the hyperharmonic numbers $h_n^{(m)}(k)$ satisfy certain recurrence relation which allow us to write them in terms of classical harmonic numbers. Moreover, we prove that the Euler-type sums with hyperharmonic numbers: \[S\left( {k,m;p} ight): = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{h_n^{\left( m ight)}\left( k ight)}}{n^p}} \;\;\left(p\geq m+1,\ {k = 1,2,3} ight)\] can be expressed as a rational linear combination of products of Riemann zeta values and harmonic numbers. This is an extension of the results of Dil (2015) \cite{AD2015} and Mez$\ddot{o}$ (2010) \cite{M2010}. Some interesting new consequences and illustrative examples are considered.

研究の動機と目的

• 一般化ハイパーハーモニック数 $ h_n^{(m)}(k) $ を含む古典的オイラー和の評価を拡張すること。
• $ p \geq m+1 $ および $ k=2,3 $ の場合に、無限和 $ S(k,m;p) = \sum_{n=1}^\infty \frac{h_n^{(m)}(k)}{n^p} $ の閉形式表現を導出すること。
• これらの和をリーマン・ゼータ関数の値と調和数の積の有理数線形結合として表現すること。
• ディル（2015年）およびメゾー（2010年）によるハイパーハーモニック・オイラー和に関する先行結果を一般化すること。

提案手法

• 入れ子の不等式を伴う多重調和和を用いて一般化ハイパーハーモニック数 $ h_n^{(m)}(k) $ を定義する。
• 再帰関係を用いて $ h_n^{(m)}(k) $ を古典的調和数と二項係数の形に表現する。
• 調和数と有理関数を含む構造的オイラー型和を表すために補助的和 $ W_{k,r}(m) $ を導入する。
• 母関数と第一種スターリング数を用いて高階和を分解する。
• 組合せ的恒等式とゼータ関数の性質を応用して、$ S(2,r;p) $ および $ S(3,r;p) $ の明示的公式を導出する。
• 結果を $ \zeta(s) $、$ H_n^{(k)} $、および $ H_n $ を用いて表現し、スターリング数および調和数の積を係数とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化ハイパーハーモニック数を含むオイラー和は、ゼータ関数の値と調和数の形で表現可能か？
• RQ2 $ k=2,3 $ および $ p \geq m+1 $ の場合に、$ S(k,m;p) = \sum_{n=1}^\infty \frac{h_n^{(m)}(k)}{n^p} $ の閉形式評価は何か？
• RQ3 第一種スターリング数と多重ゼータ値は、これらの和の構造にどのように寄与するか？
• RQ4 高階ハイパーハーモニック・オイラー和を既知の定数に還元する体系的な方法は存在するか？
• RQ5 $ k=4 $ を超えて閉形式評価を拡張する際の制限は何か？

主な発見

• 和 $ S(2,r;p) $ は、スターリング数および $ W_{3,r-1}(p+1-k) $、$ W_{2,r-1}(p+1-k) $、$ \zeta(p+1-k) $ の重み付き和として表され、調和数係数を含む。
• 和 $ S(3,r;p) $ は、$ W_{4,r-1}(p+1-k) $、$ W_{3,r-1}(p+1-k) $、$ W_{2,r-1}(p+1-k) $、およびゼータ関数値を含む公式で与えられ、立方調和数項を含む。
• 具体的な例として $ S(2,2;3) = 4\zeta(5) - 2\zeta(2)\zeta(3) + \frac{5}{4}\zeta(4) - 2\zeta(3) + \zeta(2) $ が得られ、閉形式構造が確認された。
• この手法は $ k=2,3 $ に対して $ S(k,m;p) $ を効果的に評価でき、$ p \geq m+1 $ および $ r = m $ に依存し、明示的な組合せ的係数を持つ。
• $ k \geq 4 $ に対しては、$ W_{k,r}(p) $ が既知の項で閉形式で表現できないため、一般化が容易でない。
• 本研究の結果は、ディルおよびメゾーの先行研究を拡張し、スターリング数と多重ゼータ値を用いたハイパーハーモニック・オイラー和の体系的フレームワークを提供する。