[論文レビュー] Every smooth Jordan curve has an inscribed rectangle with aspect ratio equal to $\sqrt{3}$

Cole Hugelmeyer|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、4次元のバーナードのメビウスの帯の議論の一般化を用いて、平面上の任意の滑らかなジョルダン曲線が、長さ比 √3 の内接長方形を含むことを証明している。C² にメビウスの帯を埋め込み、特に T₆,₅ であるトーラス絡み目の非可定向スライス genus に上限を適用することで、すべての滑らかな曲線に対してそのような長方形が存在することを示している。

ABSTRACT

We use Batson's lower bound on the nonorientable slice genus of $(2n,2n-1)$-torus knots to prove that for any $n \geq 2$, every smooth Jordan curve has an inscribed rectangle of of aspect ratio $ an(\frac{πk}{2n})$ for some $k\in \{1,...,n-1\}$. Setting $n = 3$, we have that every smooth Jordan curve has an inscribed rectangle of aspect ratio $\sqrt{3}$.

研究の動機と目的

• すべての滑らかなジョルダン曲線に対して、長さ比 √3 の内接長方形が存在することを解明すること。
• バーナードのメビウスの帯の手法を高次元埋め込みを用いて一般化し、内接長方形の長さ比を制御すること。
• 非可定向4次元 genus の不変量を特に応用して、可能な内接長方形を制約すること。
• n=3 の場合、長さ比 tan(πk/6)（k=1,2）はそれぞれ √3 または 1/√3 を与え、逆数対称性により等価であることを示すこと。

提案手法

• 曲線 γ: S¹ → C を用いて、メビウスの帯 M = Sym²(S¹) から C² への滑らかな埋め込み µ: M → C² を構成する。
• µ{tx,y} = ((γ(x)+γ(y))/2, (γ(y)−γ(x))^{2n}) を定義し、中点と複素数の2乗弦を符号化する。
• dµ の非退化性を用いて µ が埋め込みであることを保証し、µ(M) が C² 内の滑らかなメビウスの帯であることを示す。
• µ(M) の境界を C×{0} の近傍で解析し、C×S¹ 内の絡み目 Kn = {(g, g^{2n}) | g ∈ S¹} に同相であることを示す。
• バーツォンの T_{2n,2n−1} 絡み目の非可定向4次元 genus に対する下界を適用し、n≥3 のとき Kn は C×S¹×R≥0 内でメビウスの帯を境界として持てないことを示す。
• 長さ比 tan(πk/2n) の長方形が存在しないと仮定すると矛盾が生じ、したがってある k に対してそのような長方形が存在することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての滑らかなジョルダン曲線は、長さ比 √3 の内接長方形を持つのか？
• RQ2 内接正方形問題に用いられるメビウスの帯の構成を、長方形の長さ比を制御するために一般化できるか？
• RQ3 4次元多様体内の特定の絡み目を境界とするメビウスの帯が、どのようなトポロジカル障害によって妨げられるか？
• RQ4 トーラス絡み目の非可定向4次元 genus の上限は、内接長方形の存在にどのような制限を課えるか？
• RQ5 どの長さ比 r に対して、すべての滑らかなジョルダン曲線が長さ比 r の内接長方形を必ず含むのか？

主な発見

• すべての滑らかなジョルダン曲線 γ に対して、長さ比 √3 の内接長方形が存在する。
• その結果は、T₆,₅ 絡み目の非可定向4次元 genus の上限に反する仮定が成り立たないことで証明される。
• 任意の n≥2 に対して、ある k∈{1,…,n−1} が存在し、長さ比 tan(πk/2n) の内接長方形が存在することが示された。
• n=3 の場合、可能な長さ比は tan(π/6)=1/√3 および tan(2π/6)=√3 であり、逆数対称性により両者とも長さ比 √3 に等価である。
• C×S¹×R≥0 内で Kn を境界とする滑らかなメビウスの帯の存在が矛盾を引き起こす。これは n≥3 のときバーツォンの genus の上限により不可能である。
• 主なトポロジカル障害は、トーラス絡み目 T_{2n,2n−1} の非可定向4次元 genus が 0 でないこと、具体的には少なくとも n−1 に等しいことにある。