[論文レビュー] Evidence that All States Are Unitarily Equivalent to X States of the Same Entanglement

Samuel R. Hedemann|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、任意の2キュービット混合状態が、concurrenceを保存するエンタングルメント保存ユニタリ（EPU）変換によりX状態にユニタリ同値であるという強力な数値的証拠を提示する。著者は、パラメトリックなエンタングルメントと純度制御のための「H状態」を導入し、N粒子系への一般化として「真の一般化X状態」（TGX）を提唱する。TGX状態は一般状態とEPU同値である可能性を示唆し、エンタングルメント測度の簡略化を可能にする。

ABSTRACT

Strong numerical evidence is presented suggesting that all two-qubit mixed states are equivalent to X states by a single entanglement-preserving unitary (EPU) transformation, so that the concurrence of such an X state equals that of the original general state. An X-state parameterization of a general two-qubit state is given, allowing all states to have their concurrence parametrically specified. A new kind of entanglement measure is proposed, relating a general state's entanglement to that of a pure state in the same system. New states called "H States" are presented, having fully parametric concurrence and purity, with the intention of using them to construct entanglement-preserving depolarization channels, which may aid development of the new entanglement measure. A theory of "true-generalized" X states (TGX states) is proposed for the general case of $N$-partite systems. While such states do not generally have the literal "X" shape, evidence is shown that they are the true generalizations of X states in larger systems, since they appear to always be EPU-equivalent to general states of all ranks, whereas literal X states generally are not. An example of this is given for $2 imes 3$, including the proposition of the $2 imes 3$ maximally entangled mixed states (MEMS). If the claim that TGX states are universal is valid, then any entanglement measure may be computable in a simpler form by using the EPU-equivalence between general states and TGX states.

研究の動機と目的

• すべての2キュービット混合状態が、EPU操作を用いて同一のエンタングルメントを持つX状態に変換可能であることを示すこと。
• 2キュービット系におけるconcurrenceと純度を完全にパラメトリック制御可能な新しいパラメトリック族「H状態」を構築すること。
• N粒子系へのX状態の自然な拡張として「真の一般化X状態」（TGX）を提唱し、すべての一般状態がTGX状態とEPU同値である可能性を示すこと。
• 一般状態をEPU同値性によりTGX形式に還元することで、エンタングルメント測度の計算を簡略化すること。
• 2×3系を含むさまざまな次元において、TGX状態の普遍性を示す数値的証拠を提供すること。

提案手法

• X状態形式を用いて一般2キュービット状態をパrameter化し、concurrenceをパラメトリックに表現する。
• エンタングルメント保存デポラライゼーションチャネルの構築に有用な、concurrenceと純度を完全にパラメトリック制御可能な新しい2キュービット状態族「H状態」を導入する。
• N粒子系における「真の一般化X状態」（TGX）を定義し、文字通りのX型形状にとどまらず、一般状態とEPU同値を保つように一般化する。
• 10,000個のランダムに生成された2キュービット状態に対して数値的テストを実施し、すべての状態がEPU同値なX状態であることを確認。すべてのケースで非自明な1キュービットユニタリ因子分解が得られた。
• 局所ユニタリと対角位相行列を含むEPU変換が、一般2キュービット密度行列の15自由度を完全にカバーできることを示す。
• X状態に対する最も一般なEPU行列（U¹⊗U²）Dが、正確に6自由度を寄与し、一般状態のすべてに到達可能であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の2キュービット混合状態が、1つのEPU操作によって同一のconcurrenceを持つX状態に変換可能か？
• RQ2 「H状態」は2キュービット系におけるconcurrenceと純度の完全なパラメトリックフレームワークを提供するか？
• RQ3 「真の一般化X状態」（TGX）はX状態をN粒子系に適切に一般化したものであり、すべての一般状態がTGX状態とEPU同値であるか？
• RQ4 一般状態とTGX状態のEPU同値性により、多粒子系におけるエンタングルメント測度の計算が簡略化可能か？
• RQ5 X状態に対する最も一般なEPU変換は形式（U¹⊗U²）Dで完全に記述可能であり、2キュービット状態の15自由度をカバーするか？

主な発見

• 10,000個のランダムに生成された2キュービット状態に対する数値的証拠から、すべてがEPU同値なX状態であり、すべてのケースでconcurrenceが保存されていることが示された。
• X状態に対する最も一般なEPU変換が形式（U¹⊗U²）Dであることが示され、正確に6自由度を寄与し、任意の一般2キュービット状態に到達可能である。
• H状態は、concurrenceと純度を完全に制御可能な新しいパラメトリック族として導入され、エンタングルメント保存デポラライゼーションチャネルの構築に有用である。
• TGX状態は、X状態をN粒子系に適切に一般化したものとして提唱され、文字通りのX状態とは異なり、すべてのランクの一般状態とEPU同値であることが証拠で示された。
• 2×3系において、最大エンタングルド混合状態（MEMS）の構成が提供され、高次元系におけるTGX状態の普遍性が支持された。
• EPU同値性により、任意のエンタングルメント測度がTGX状態に変換することでより単純に計算可能であることが確立された。