[論文レビュー] Exact density matrix of a discrete quantum system immersed in a thermal reservoir

A. J. van Wonderen, L.G. Suttorp|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2018

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、調和振動子の熱的バスターブに結合する離散的量子系の密度行列に対する正確な解析的解を、Kraus写像を行列連分数で表現することで提示する。ラプラス変換された行列比を用い、無限階層における高次項を無視することで、マスター方程式に依存しない非マークフィアン時間発展演算の閉形式表現が得られる。

ABSTRACT

Quantum dissipation is studied for a discrete system that linearly interacts with a reservoir of harmonic oscillators at thermal equilibrium. Initial correlations between system and reservoir are assumed to be absent. The dissipative dynamics as determined by the unitary evolution of system and reservoir is described by a Kraus map consisting of an infinite number of matrices. For all Laplace-transformed Kraus matrices exact solutions are constructed in terms of continued fractions that depend on the pair correlation functions of the reservoir.

研究の動機と目的

• マスター方程式の近似に依存する一般的な手法を避けて、離散系が熱的バスターブに結合する非マークフィアン量子ダイナミクスを正確に記述すること。
• 先行研究が極めて複雑または実行不可能であるとみなしていた正確なマスター方程式の導出という課題に取り組むこと。
• バスターブ相関関数に基づいて、行列連分数を用いたKraus写像の閉形式解を構築すること。
• 弱い結合および初期状態における系-バスターブ相関の不在という条件下で有効な枠組みを確立し、摂動的領域においてトレース保存性と正定値性を保証すること。

提案手法

• 系とバスターブのユニタリ時間発展演算に基づき、無限個の行列からなるKraus写像を用いて、系の密度行列の時間発展を導出する。
• Kraus行列から導かれる行列比を導入し、ラプラス変換を適用することで、非線形方程式の閉じた階層を構築する。
• 階層を有限の順序Nまで繰り返し適用し、第二段階では複雑な行列連分数表現を含む。
• N → ∞ の極限をとる際、最高次の行列比が消えるものと仮定することで、行列連分数の形で閉形式の解を得る。
• Wickの定理を用いて、バスターブ相関関数をペア相関関数の形に表現し、熱的バスターブの解析的取り扱いを可能にする。
• ラプラス表現と積分路積分を用いて、Kraus作用素を周波数依存結合関数およびバスターブ相関関数の形で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マスター方程式に依存せずに、オープン量子系の正確な非マークフィアン時間発展演算を導出可能か？
• RQ2 調和振動子の熱的バスターブに結合する系に対するKraus写像の解析的構造は何か？
• RQ3 無限階層となる行列比の階層は、どのように閉形式で解けるか？ これにより系の密度行列の時間発展演算が記述可能か？
• RQ4 行列連分数表現はどのような条件下で収束し、物理的に有効な記述を提供するか？
• RQ5 Kraus写像の構造はあまりに複雑であり、正確なマスター方程式は実用的に導出不可能ではないか？

主な発見

• 系の密度行列の正確な時間発展演算は、バスターブ相関関数から導かれる行列連分数で表されるKraus写像として表現される。
• 有限反復階層のN → ∞ の極限をとることで、最高次の行列比が消えるものと仮定することで解が得られる。
• マスター方程式を避けており、離散系が熱的バスターブに結合する非摂動的かつ正確な非マークフィアンダイナミクスの記述が可能である。
• Kraus行列は、ラプラス変換された行列比から構成され、それらはバスターブペア相関関数を含む連分数として明示的に解かれる。
• この枠組みはガウス型バスターブのためのWickの定理に依存しており、調和振動子から構成される熱的平衡バスターブの正確な取り扱いを可能にする。
• Kraus写像の複雑な解析的構造から、正確なマスター方程式は実用的に不可能であることが確認され、先行の予想と整合的である。