[論文レビュー] Exact exponential bounds for the random field maximum distribution via the majoring measures (generic chaining)

E. Ostrovsky, E. Rogover|ArXiv.org|Feb 4, 2008

Analysis of environmental and stochastic processes参考文献 6被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、中心化・分離可能な確率場の最大値の尾確率分布に対して、主要測度と一般化チェインニングを用いて非漸近的かつ指数的に正確な上限と下限を確立する。凸関数 $\phi$ に関連するオルリッチノルムを介して鋭い尾確率推定値を導出し、尾確率が $\exp(-\phi^*(Cu))$ のように減少することを示す。最適性はマルティンゲール構成とモーメント推定値によって確認される。

ABSTRACT

In this paper non-asymptotic exact exponential estimates are derived for the tail of maximum distribution of random field in the terms of majoring measures or, equally, generic chaining.

研究の動機と目的

• 非漸近的かつ指数的に正確な上界と下界を、$ u \to \infty $ のときの尾確率 $ Q(T,u) = \mathbb{P}(\sup_{t \in T} \xi(t) > u) $ に対して導出すること。
• 凸関数 $ \phi $ の双対関数 $ \phi^* $ に関して、境界 $ \mathbb{P}(\sup_{t \in T} \xi(t) > u) \asymp \exp(-\phi^*(Cu)) $ の最適性を確立すること。
• 一般化チェインニング法と確率変数の $ B(\phi) $ および $ G(\psi) $ バナッハ空間との関係を示し、ノルムと尾挙動の同値性を示すこと。
• 多項式マルティンゲールを用いて境界の鋭さを示すこと。$ \sigma^2(n)/n^d \in [C_1, C_2] $ を満たすもので、尾における正確な指数 $ u^r $ を達成する。

提案手法

• 中心化された確率変数 $ \xi $ で、ある $ \tau $ に対して $ \mathbb{E}[\exp(\lambda \xi)] \leq \exp(\phi(\lambda \tau)) $ を満たすものとして、空間 $ B(\phi) $ を定義し、$ \|\xi\|_{B(\phi)} $ をそのような最小の $ \tau $ として定める。
• ヤング＝フェンヒェル変換 $ \phi^*(x) = \sup_\lambda (\lambda x - \phi(\lambda)) $ を用いて尾挙動を特徴づけ、$ \mathbb{P}(|\xi| > x) \leq \exp(-\phi^*(Cx)) $ を得る。
• モーメントノルム $ \|\xi\|_{G(\psi)} = \sup_{p \geq 2} \mathbb{E}^{1/p}|\xi|^p / \psi(p) $ を導入し、ここで $ \psi(p) = p / \phi^{-1}(p) $ とし、$ B(\phi) = G(\psi) $ かつノルムが同値であることを証明する。
• ドーブの不等式と $ B(\phi) $ におけるモーメント推定値を用いて、チェインニングブロックを評価する：$ \mathbb{P}(\max_{n \in E(k)} \xi(n) > u \sigma(A(k)) v_r(A(k)) / \sigma(B(k))) \leq \exp(-\phi^*(C u \sigma(A(k)) v_r(A(k)) / \sigma(B(k)))) $。
• 多項式マルティンゲール $ \xi(n) = \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_d \leq n} \epsilon(i_1) \cdots \epsilon(i_d) $ を構成し、$ \sigma^2(n) \asymp n^d $ かつ $ v_r(n) \asymp (n \log \log n)^{d/2} $ を満たすようにする。
• LIL と経路ごとの推定値を用いて、$ \varlimsup_{n \to \infty} \xi(n)/(\sigma(n) v_r(n)) > 0 $ almost surely であり、かつ $ \mathbb{P}(\sup_n \xi(n)/(\sigma(n) v_r(n)) > u) \geq \exp(-C_3 u^r) $ が成り立つことを示し、鋭さを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 主な測度を用いて、確率場の最大値の尾に非漸近的かつ指数的に正確な境界を導出できるか？
• RQ2 確率変数 $ \xi(t) \in B(\phi) $ を満たす一般の確率場に対して、境界 $ \mathbb{P}(\sup_{t \in T} \xi(t) > u) \asymp \exp(-\phi^*(Cu)) $ は鋭いか？
• RQ3 $ B(\phi) $ ノルムとモーメントノルム $ G(\psi) $ の関係は何か？この同値性は尾推定にどのように寄与するか？
• RQ4 多項式マルティンゲールを構成することで、尾における正確な指数 $ u^r $ を達成でき、一般化チェインニング境界の鋭さを確認できるか？
• RQ5 主な積分が収束または発散する条件は何か？そしてその影響は最大値の尾挙動にどのように現れるか？

主な発見

• 確率変数 $ \xi(t) \in B(\phi) $ が $ t \in T $ 全体で一様に成り立つ限り、尾確率 $ \mathbb{P}(\sup_{t \in T} \xi(t) > u) $ は $ \exp(-\phi^*(Cu)) $ で上から抑えられる。ここで $ C > 0 $ である。
• この境界は漸近的に正確である：$ \lim_{x \to \infty} (\phi^*)^{-1}(|\log U(\xi,x)|)/x = 1/K $ ならば、$ \mathbb{P}(|\xi| > x) \asymp \exp(-\phi^*(Cx)) $ が成り立つ。
• 多項式マルティンゲール $ \xi(n) = \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_d \leq n} \epsilon(i_1) \cdots \epsilon(i_d) $ に対して、$ u > 2 $ に対して $ \mathbb{P}(\sup_n \xi(n)/(\sigma(n) v_r(n)) > u) \geq \exp(-C_3 u^r) $ が成り立ち、$ r = d $ である。
• 一般化チェインニング境界 $ \mathbb{P}(\max_{n \in E(k)} \xi(n) > u \sigma(A(k)) v_r(A(k)) / \sigma(B(k))) \leq \exp(-\phi^*(C u \sigma(A(k)) v_r(A(k)) / \sigma(B(k)))) $ は、ドーブの不等式と $ B(\phi) $ ノルム推定値を用いて導出される。
• $ B(\phi) $ と $ G(\psi) $ の空間は一致し、ノルムが同値である。ここで $ \psi(p) = p / \phi^{-1}(p) $ であり、$ \|\xi\|_{G(\psi)} \asymp \|\xi\|_{B(\phi)} $ である。
• $ \sigma^2(n)/n^d \in [C_1, C_2] $ かつ $ v_r(n) \asymp (n \log \log n)^{d/2} $ ならば、$ \varlimsup_{n \to \infty} \xi(n)/(\sigma(n) v_r(n)) > 0 $ almost surely であり、境界の鋭さが確認される。