[論文レビュー] Exact holographic mapping and emergent space-time geometry

Xiao-Liang Qi|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 6被引用数 104

ひとこと要約

本稿では、d次元境界量子系から(d+1)次元のボリューム系へのユニタリ変換である正確なホログラフィックマッピング（EHM）を導入する。ここでボリューム幾何は2点相関関数から生じる。1次元自由フェルミオン系において、EHMはAdS/CFTの主要な特徴を再現する。具体的には有限温度におけるブラックホールに類似した幾何、およびエンタングルドなスピンチェーンにおけるワームホールのダイナミクスを再現し、背景に依存しない、非摂動的かつ正確なホログラフィーの実現を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we propose an {\it exact holographic mapping} which is a unitary mapping from the Hilbert space of a lattice system in flat space (boundary) to that of another lattice system in one higher dimension (bulk). By defining the distance in the bulk system from two-point correlation functions, we obtain an emergent bulk space-time geometry that is determined by the boundary state and the mapping. As a specific example, we study the exact holographic mapping for $(1+1)$-dimensional lattice Dirac fermions and explore the emergent bulk geometry corresponding to different boundary states including massless and massive states at zero temperature, and the massless system at finite temperature. We also study two entangled one-dimensional chains and show that the corresponding bulk geometry consists of two asymptotic regions connected by a worm-hole. The quantum quench of the coupled chains is mapped to dynamics of the worm-hole. In the end we discuss the general procedure of applying this approach to interacting systems, and other open questions.

研究の動機と目的

• 標準的なAdS/CFTの近似を避けるために、d次元境界量子系と(d+1)次元ボリューム系との間のユニタリかつ正確なホログラフィックマッピングを構築すること。
• 境界状態の2点相関関数からボリューム内の幾何的構造を定義し、量子もつれから時空幾何がどのように生じるかを可能にすること。
• EHMフレームワークが、ブラックホール幾何やワームホールダイナミクスといった既知のホログラフィック現象を、非摂動的かつ正確な量子フレームワーク内で再現できることを示すこと。
• 生じるボリュームにおけるレノルミング・グループのフローと因果構造の役割を調査し、初期幾何の仮定に依存しない自己整合的な方法でボリューム幾何を決定する手法を提案すること。

提案手法

• 2つの境界サイトを1つのボリューム自由度（短距離もつれ）と1つの補助自由度（長距離もつれ）に写像するユニタリ変換のテンソルネットワークを定義し、階層的な構造を形成する。
• ボリュームサイト間の2点相関関数C(x,y)を用いて、測地線距離d(x,y) = -ξ log C(x,y)を定義する。ここでξはスケールパラメータである。
• 層ごとのユニタリ変換を再帰的に適用することでボリュームハミルトニアンを構築し、全マッピングを層ごとのユニタリ変換の積として構成し、木構造のネットワークを形成する。
• EHMを1次元自由フェルミオン系（ゼロ温度および有限温度）および2つのエンタングルドなスピンチェーンに適用し、生じるボリューム幾何を計算する。
• d(x,y) = d_g(x,y)（d_gはネットワーク上のグラフ距離）という自己整合的条件を導入し、事前の背景幾何の仮定に依存せずに幾何を決定する。
• EHMの因果コーン構造を用いて、単純なボリューム状態から境界性質を効率的に数値計算可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d次元の量子系から(d+1)次元系へのユニタリマッピングが、既知のホログラフィック特徴を再現する幾何的ボリュームを生成できるか？
• RQ2 古典的背景が存在しない状況で、2点相関関数からどのようにボリューム幾何が生じるか？
• RQ3 EHMフレームワークが有限温度におけるAdSブラックホール幾何とその近ホライズン構造を再現できるか？
• RQ4 2つのエンタングルドな1+1次元スピンチェーンにおける量子クイエンチのボリューム記述は何か？これは動的ワームホールに対応するか？
• RQ5 初期幾何の仮定に依存せず、ネットワーク構造から自己整合的にボリューム幾何を決定できるか？

主な発見

• 質量ゼロの1次元ディラックフェルミオン系（ゼロ温度）では、生じるボリューム幾何は漸近的にAdSに一致し、AdS/CFT双対性の期待と整合的である。
• 質量ゼロの有限温度状態では、ボリューム幾何は赤方偏移領域（IR）においてブラックホールの近ホライズン幾何に類似した構造を示し、相関関数からホライズンに類似した構造が生じる。
• 質量のあるフェルミオン（ゼロ温度）では、生じるボリューム幾何は純粋なAdSから逸脱し、ギャップ構造を示す。これはコンフォーマル対称性の破れを反映している。
• 初期にエンタングルドな2つの1+1次元スピンチェーンに対してEHMを適用すると、2つの漸近的AdS領域がワームホールで接続されたボリューム幾何に写像され、ER=EPR予想と整合的である。
• チェーンが量子クイエンチで分離された後、ワームホール幾幾何は動的に収縮・拡張し、フェルミオンの非相互作用性と無限大の保存量により、振動的挙動を示す。
• 自己整合的条件d(x,y) = d_g(x,y)は、ネットワーク構造からボリューム幾何を決定する手法を提供し、背景に依存しない生じる幾何のアプローチを示唆している。