[論文レビュー] Exact interval solutions to the discrete Bellman equation and polynomial complexity of problems in interval idempotent linear algebra

Grigori Litvinov, Andreĭ Sobolevskiĭ|ArXiv.org|Jan 5, 2001

Numerical Methods and Algorithms参考文献 6被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、idempotent および正の半体上で離散ベルマン方程式 $X = \mathbf{A}X \oplus \mathbf{B}$ の正確な区間解を提示し、代数的解 $\mathbf{A}^*\mathbf{B}$ がすべての統合解を含む閉区間を形成することを示している。この解は、行列閉包アルゴリズムを用いて多項式時間で計算可能であり、従来の区間解析におけるNP困難性とは対照的である。

ABSTRACT

In this note we construct a solution of a matrix interval linear equation of the form X=AX+B (the discrete stationary Bellman equation) over partially ordered semirings, including the semiring of nonnegative real numbers and all idempotent semirings. We discuss also the computational complexity of problems in interval idempotent linear algebra. In the traditional Interval Analysis problems of this kind are generally NP-hard. In the note we consider matrix equations over positive semirings; in this case the computational complexity of the problem is polynomial. Idempotent and other positive semirings arise naturally in optimization problems. Many of these problems turn out to be linear over appropriate idempotent semirings. In this case, the system of equations X=AX+B appears to be a natural analog of a usual linear system in the traditional linear algebra over fields. B. A. Carre showed that many of the well-known algorithms of discrete optimization are analogous to standard algorithms of the traditional computational linear algebra.

研究の動機と目的

• idempotent および正の半体の文脈において、離散ベルマン方程式の正確な区間解を開発すること。
• この枠組みにおける区間線形代数問題の計算複雑性を分析し、古典的区間解析におけるNP困難性と対比すること。
• idempotent半体上の行列閉包作用素が多項式時間で解ける問題を生み出すことを確立すること。
• 代数的解 $\mathbf{A}^*\mathbf{B}$ がすべての可能な解を包摂するタイトな区間を形成することを証明すること。

提案手法

• 本稿では、正の半体 $S$ の弱い区間拡張 $I(S)$ を用い、区間演算を下限と上限を介して定義する。
• 行列閉包 $A^*$ は恒等式 $A^* = A^*A \oplus E$ を用いて定義され、エスカレーター法に類似した再帰的アルゴリズムにより計算可能である。
• 方程式 $X = \mathbf{A}X \oplus \mathbf{B}$ の解は、$\mathbf{A}^*$ を区間行列閉包として用いた $\mathbf{A}^*\mathbf{B}$ として構築される。
• 解の区間の境界を計算するために、下限行列 $L(\mathbf{A})$ と上限行列 $U(\mathbf{A})$ が用いられる。
• $I(\mathrm{Mat}_{nn}(S))$ と $\mathrm{Mat}_{nn}(I(S))$ の同型性により、区間行列演算の整合性が保証される。
• 行列乗算および閉包作用が部分順序を保存することを活用することで、多項式時間での計算が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 idempotent半体上での離散ベルマン方程式に対して、正確な区間解を構築できるか？
• RQ2 この設定における区間線形代数問題の計算複雑性は多項式的であるか？ これは古典的区間解析におけるNP困難性と対照的である。
• RQ3 代数的解 $\mathbf{A}^*\mathbf{B}$ は、すべての可能な解を包摂するタイトな区間を形成するか？
• RQ4 区間 $[L(\mathbf{A}^*\mathbf{B}), U(\mathbf{A}^*\mathbf{B})]$ が全解集合 $\Sigma(\mathbf{A}, \mathbf{B})$ に等しくなるのはどのような条件下か？

主な発見

• 代数的解 $\mathbf{A}^*\mathbf{B}$ は、方程式 $X = \mathbf{A}X \oplus \mathbf{B}$ のすべての統合解を含む正確な区間解である。
• 解の区間 $[L(\mathbf{A}^*\mathbf{B}), U(\mathbf{A}^*\mathbf{B})]$ の境界は、それぞれ点行列方程式 $X = \underline{\mathbf{A}}X \oplus \underline{\mathbf{B}}$ および $X = \overline{\mathbf{A}}X \oplus \overline{\mathbf{B}}$ の解である。
• $\mathbf{A}^*$ を計算するための行列閉包アルゴリズムは、行列サイズ $n$ に対して多項式時間で実行可能である。
• idempotent半体では、演算に関する自然な条件下で解の区間はタイトである：$[L(\mathbf{A}^*\mathbf{B}), U(\mathbf{A}^*\mathbf{B})] = \Sigma(\mathbf{A}, \mathbf{B})$。
• この枠組みにおける区間線形方程式の解法問題は、古典的区間解析とは異なりNP困難ではない。