[論文レビュー] Exact Matching of Random Graphs with Constant Correlation

Cheng Mao, Mark Rudelson+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2021

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ひとこと要約

本稿では、定数の相関を持つ2つの相関付きErdős–Rényiランダムグラフ間の潜在的頂点マッチングを正確に回復する最初の多項式時間アルゴリズムを提示する。頂点の近隣構造に基づく再帰的分割法を用い、平均次数がnに応じて対数的に増加するスパースグラフ条件下でも高確率で正確な回復を達成する。

ABSTRACT

This paper deals with the problem of graph matching or network alignment for Erdős--Rényi graphs, which can be viewed as a noisy average-case version of the graph isomorphism problem. Let $G$ and $G'$ be $G(n, p)$ Erdős--Rényi graphs marginally, identified with their adjacency matrices. Assume that $G$ and $G'$ are correlated such that $\mathbb{E}[G_{ij} G'_{ij}] = p(1-α)$. For a permutation $π$ representing a latent matching between the vertices of $G$ and $G'$, denote by $G^π$ the graph obtained from permuting the vertices of $G$ by $π$. Observing $G^π$ and $G'$, we aim to recover the matching $π$. In this work, we show that for every $\varepsilon \in (0,1]$, there is $n_0>0$ depending on $\varepsilon$ and absolute constants $α_0, R > 0$ with the following property. Let $n \ge n_0$, $(1+\varepsilon) \log n \le np \le n^{\frac{1}{R \log \log n}}$, and $0 < α< \min(α_0,\varepsilon/4)$. There is a polynomial-time algorithm $F$ such that $\mathbb{P}\{F(G^π,G')=π\}=1-o(1)$. This is the first polynomial-time algorithm that recovers the exact matching between vertices of correlated Erdős--Rényi graphs with constant correlation with high probability. The algorithm is based on comparison of partition trees associated with the graph vertices.

研究の動機と目的

• 定数相関を持つ相関付きErdős–Rényiグラフ間の正確なグラフマッチングのための多項式時間アルゴリズムを開発すること。
• ノイズのあるグラフマッチング問題における情報理論的限界と、計算可能な回復条件の間のギャップを埋めること。
• 平均次数npがnに比例して対数的に増加するスパースグラフ領域において、高確率での正確な回復を確立すること。
• 近隣被覆統計を用いて正しい対と誤った対を区別する、新しいシグネチャーベースの分割法を導入すること。

提案手法

• アルゴリズムは頂点の近隣に基づくパーティションツリーを構築し、再帰的精錬を用いて候補マッチングを同定する。
• G^πとG′における近隣の被覆を用いて頂点シグネチャを定義し、ノイズ低減のためのスパarsificationを活用する。
• 再帰的手順により、初期マッチングをシグネチャ被覆閾値を用いた候補マッピングのテストによって段階的に改善する。
• 正しい対は誤った対よりも顕著に高いシグネチャ被覆を持つことを、濃度不等式を用いて示す。
• 不一致頂点数が各段階で半減する多段階の精錬プロセスを用い、真の置換への収束を保証する。
• 理論的保証は、ランダムグラフにおける近隣の基数および被覆分布の確率的解析により導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相関が定数である場合に、定数相関を持つ2つの相関付きErdős–Rényiグラフ間の潜在的マッチングを多項式時間で正確に回復できるか？
• RQ2 平均次数npがどの程度の条件下で、定数相関領域において高確率での正確な回復が可能か？
• RQ3 相関付きグラフにおける頂点近隣構造をどのようにして正しい対と誤った対を区別するために利用できるか？
• RQ4 初期マッチングを段階的に精錬して正確な回復を達成する再帰的アルゴリズムフレームワークは存在するか？

主な発見

• すべてのn ≥ n₀に対して、確率1 - o(1)で正確なマッチングが達成される。ここでn₀はεおよび絶対定数に依存する。
• np ≥ (1+ε)log n かつ np ≤ n^(1/(R log log n)) かつ 0 < α < min(α₀, ε/4) の条件下で、正確な回復が可能である。ここでαはノイズレベルである。
• 各再帰的段階で不一致頂点数が半減され、O(log n)回の反復で正確な回復に到達することが保証される。
• 正しい頂点対は少なくともε²pn/512のシグネチャ被覆を持つが、誤った対は高確率でε²pn/512未満の被覆を持つ。
• 本アルゴリズムは、定数相関において多項式時間で正確な回復を達成する最初のものであり、従来の結果が消える相関に限られるのを拡張する。