[論文レビュー] Exact representation of truncated variation of Brownian motion

Piotr Miłoś|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、スコロフ問題と関連付けることで、ブラウン運動の切り捨てられた変動の正確な分布的表現を確立する。逆に、切り捨てられた変動過程の逆は、時間シフトを除いて、ラプラス指数 $ \sqrt{2q}\tanh(c\sqrt{q/2})$ を持つレヴィ劣拠体であることが示され、変動問題で定義される最小化子の明示的経路的特徴づけが得られる。

ABSTRACT

In the recent papers [Lochowski:2011fk, Lochowski:2013yq, Lochowski:2013lr] the truncated variation has been introduced, characterized and studied in various stochastic settings. In this note we uncover an intimate link to the Skorokhod problem. Further, we exploit it to give an explicit representation of the truncated variation of a Brownian motion. More precisely, we prove that the inverse of this process is, up to a minor time shift, a Lévy subordinator with the exponent \sqrt{2q} anh(c\sqrt{q/2}) . This also gives a representation of a solution of the two-sided Skorokhod problem for a Brownian motion.

研究の動機と目的

• ブラウン運動の切り捨てられた変動の明確な経路的特徴づけを確立すること。
• 切り捨てられた変動を càdlàg 関数のスコロフ埋め込み問題に関連付けること。
• 局所時刻と初到達時刻を用いて、切り捨てられた変動過程の明示的分布的表現を導出すること。
• 切り捨てられた変動過程の逆が、特定のラプラス指数を有する時間シフト付きのレヴィ劣拠体であることを示すこと。
• 変動問題の最小化子を用いて、ブラウン運動の二重側スコロフ問題を解くこと。

提案手法

• 経路の $c/2$-チューブ内での関数の全変動の下界として切り捨てられた変動の変動問題的特徴づけを用いる。
• 補題1を適用して、上昇および下降のジャンプに対応する2つの増加過程 $f_1$ と $f_2$ の差として最小化子 $g^c$ を表現する。
• レベル $kc$ および $(2k+1)c$ におけるブラウン運動の局所時刻 $L_t^a$ を用いて、過程 $X_t^c$ と $Y_t^c$ を定義する。
• 分布的同値性を確立する：$\text{TV}^c(B,[0;t]) \stackrel{d}{=} Y_{t - (\tau_U \wedge \tau_D)}^c$、ここで $\tau_U, \tau_D$ は走る最小値/最大値から $c$ 以上上昇・下降する初到達時刻である。
• 初到達分布および局所時刻密度を用いた極限手続きを通じて、逆切り捨てられた変動過程のラプラス指数を導出する。
• 強マルコフ性および初到達確率の漸近的解析を用いて、離散近似の連続ラプラス変換への収束を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウン運動の切り捨てられた変動は、どのように分布的に正確に表現できるか？
• RQ2 切り捨てられた変動とブラウンパスのスコロフ問題との間にはどのような関係があるか？
• RQ3 切り捨てられた変動過程の逆はレヴィ劣拠体であるか？ もしそうであれば、そのラプラス指数は何か？
• RQ4 変動問題で定義される最小化子は、局所時刻および初到達時刻を用いて明示的に特徴づけられるか？
• RQ5 ブラウンパスにおいて、走る最小値または最大値から $c$ の大きさの顕著な逸脱が初めて発生するまでの時間の分布は何か？

主な発見

• 切り捨てられた変動 $\text{TV}^c(B,[0;t])$ は、$Y_{t - (\tau_U \wedge \tau_D)}^c$ と分布的に等価であり、ここで $Y_t^c = \sum_{k \in \mathbb{Z}} L_t^{kc}$ は $c$ の倍数における局所時刻から構成される過程である。
• 切り捨てられた変動過程の逆は、時間シフトを除いて、ラプラス指数 $\sqrt{2q}\tanh(c\sqrt{q/2})$ を持つレヴィ劣拠体である。
• 変動問題における最小化子 $g^c$ は、$g^c(t) = x + f_1(t) - f_2(t)$ として与えられ、ここで $f_1, f_2$ は経路が $c/2$-チューブの下境界および上境界に達する集合に集中する増加過程である。
• $\tau_U$ および $\tau_D$ の初到達時刻は指数的減少する尾部を持ち、$\tau_U \wedge \tau_D$ は過去の文献における $\theta(c)$ に一致する。
• 逆切り捨てられた変動過程のラプラス変換は、初到達時刻および局所時刻区間の離散近似の極限手続きを通じて導出される。
• 離散近似の連続ラプラス変換への収束は、初期値 $x$ に関して一様であるため、極限の有効性が保証される。