[論文レビュー] Exact simulation of max-stable processes

Clément Dombry, Sebastian Engelke+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2015

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有限の位置における最大安定過程の正確なシミュレーションアルゴリズムを2つ提示する。1つ目は、スペクトル測度のサンプリングによりDiekerとMikosch（2015）を一般化したものであり、2つ目は、局所的最大値に寄与する極値関数のみをシミュレートするものである。2番目の手法は、厳密により効率的であることが証明されており、ブラウン＝レズニク、極値t、ロジスティック過程を含む主なモデルについて閉形式の実装を提供する。

ABSTRACT

Max-stable processes play an important role as models for spatial extreme events. Their complex structure as the pointwise maximum over an infinite number of random functions makes simulation highly nontrivial. Algorithms based on finite approximations that are used in practice are often not exact and computationally inefficient. We will present two algorithms for exact simulation of a max-stable process at a finite number of locations. The first algorithm generalizes the approach by \citet{DM-2014} for Brown--Resnick processes and it is based on simulation from the spectral measure. The second algorithm relies on the idea to simulate only the extremal functions, that is, those functions in the construction of a max-stable process that effectively contribute to the pointwise maximum. We study the complexity of both algorithms and prove that the second procedure is always more efficient. Moreover, we provide closed expressions for their implementation that cover the most popular models for max-stable processes and extreme value copulas. For simulation on dense grids, an adaptive design of the second algorithm is proposed.

研究の動機と目的

• 最大安定過程の無限次元的構造のため、正確で効率的なシミュレーション手法が不足しているという問題に取り組む。
• 計算的に非効率で正確でない有限近似の限界を克服する。
• 広く使われる最大安定過程モデルに適用可能な、有限位置における正確なシミュレーションの一般枠組みを構築する。
• 局所的最大値に寄与する関数のみに注目することで、計算の効率を向上させる。
• ブラウン＝レズニク、極値t、ロジスティック過程を含む主要モデルについて、閉形式のシミュレーション手順を提供する。

提案手法

• 多変量極値分布のL1-球上のスペクトル測度からサンプリングすることで、DiekerとMikosch（2015）を一般化する。
• 新規のアルゴリズムを提案：点xにおいてζiψi(x) = Z(x)を満たす関数（寄与関数）のみをシミュレートする。これにより、寄与しない関数の無駄なシミュレーションを回避する。
• 逐次的棄却スキームを用いる：関数を1つずつシミュレートし、各位置でそれが最大値に寄与するかをチェックする。
• 密度の高いグリッドにおける適応的設計を導入：Zn(x)が小さい順に位置を順序付け、新たな極値関数を生成する可能性の高い点を優先する。
• 負のロジスティックモデルおよびディリクレ混合モデルにおける、正規化スペクトル関数の分布に対する閉形式の表現を導出する。
• すべての目的位置で正確なシミュレーションが達成される理論的条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限の位置における最大安定過程の正確なシミュレーションは、有限近似に依存せずに達成可能か？
• RQ2 局所的最大値に寄与する関数のみに注目するようなシミュレーションアルゴリズムを設計可能か？
• RQ3 実際の計算において、極値関数シミュレーションの計算複雑度はスペクトル測度サンプリングと比べてどのように異なるか？
• RQ4 位置の適応的順序付けは、密度の高い空間グリッドにおける正確なシミュレーションの効率を向上させられるか？
• RQ5 ブラウン＝レズニク、負のロジスティック、ディリクレ混合モデルのような主要な最大安定過程モデルについて、閉形式のシミュレーションスキームは存在するか？

主な発見

• 極値関数に基づくアルゴリズムは、寄与しない関数のシミュレーションを回避するため、スペクトル測度サンプリングよりも厳密に効率的である。
• 負のロジスティックモデルでは、正規化スペクトルベクトルの分布がワイブル分布とガンマ分布の比として特徴づけられる。
• ディリクレ混合モデルでは、スペクトル分布がガンマ分布比の混合であるため、閉形式でのシミュレーションが可能になる。
• 現在の最大値が小さい位置を優先する適応的アルゴリズムは、期待される反復回数を顕著に削減する。
• 密度の高いグリッドでは、特に空間的依存性が強い場合、適応的設計の恩恵が最も顕著に現れる。
• 提案手法は、標準的な有限近似手法とは異なり、近似誤差なしに正確なシミュレーションを達成する。