[論文レビュー] Exact smooth piecewise polynomial sequences on Alfeld splits

Guosheng Fu, Johnny Guzmán+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2018

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 12被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、単体の頂点を重心に接続して得られるアーフェル分割（Alfeld split）上で、任意の空間次元および多項式次数において、正確なde Rham複体を、区分的多項式微分形式として構築する。核における外微分作用素の滑らかさが向上しており、これにより、可換射影の構成、ストークス問題の発散なし部分空間の特徴付け、滑らかな多項式空間の明示的次元公式の導出が可能になる。

ABSTRACT

We develop exact piecewise polynomial sequences on Alfeld splits in any spatial dimension and any polynomial degree. An Alfeld split of a simplex is obtained by connecting the vertices of an $n$-simplex with its barycenter. We show that, on these triangulations, the kernel of the exterior derivative has enhanced smoothness. Byproducts of this theory include characterizations of discrete divergence-free subspaces for the Stokes problem, commutative projections, and simple formulas for the dimensions of smooth polynomial spaces.

研究の動機と目的

• 任意の空間次元および多項式次数において、アーフェル分割上に正確で滑らかな区分的多項式de Rham複体を構築すること。
• これらの複体を用いて、ストークス問題の離散発散なし部分空間を特徴付けること。
• アーフェル分割上の有限要素空間に対して、一意な自由度および可換射影を構築すること。
• アーフェル分割上での滑らかな多項式空間の次元公式を明示的に導出すること。
• 可縮領域上で離散de Rham複体の全域的正確性を確立すること。

提案手法

• 重心座標と外代数を用いて、単体上での多項式微分形式を定義する。
• アーフェル分割上での区分的多項式k-形式の有限要素空間を導入し、単体の面を越えて滑らかさを向上させる。
• これらの空間上で外微分作用素の核が正確な形式（高次の形式の像）であることを証明し、局所的正確性を確立する。
• ランク・ノルティおよびオイラー乗数の議論を用いて、可縮領域上での離散複体の全域的正確性を証明する。
• 3次元有限要素空間に対して、微分作用素と可換な射影を誘導する一意な自由度を構成する。
• 自由度の数え上げによる議論を通じて、滑らかな多項式空間の次元公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーフェル分割上に定義された区分的多項式k-形式における外微分作用素の核の構造は何か？
• RQ2 滑らかさが向上した正則性を持つアーフェル分割上の有限要素空間への可換射影をどのように構成できるか？
• RQ3 アーフェル分割上での、連続的で区分的多項式k-形式およびその外微分が連続である空間の次元公式は何か？
• RQ4 任意の空間次元および多項式次数において、アーフェル分割上に正確なde Rham複体を構築できるか？
• RQ5 これらの複体は、クラフ・トーチャー、アーフェル、およびチャンのストークス要素といった既知の有限要素族とどのように関係するか？

主な発見

• アーフェル分割上での区分的多項式k-形式における外微分作用素の核は、正確な形式に一致する。これにより、de Rham複体の局所的正確性が証明される。
• 連続的で区分的多項式k-形式およびその外微分が連続である空間の次元は、自由度の数え上げによる明示的公式で与えられる。
• $ r \geq 5 $ のとき、アーフェル分割上では、ベクトル値区分的多項式空間からスカラー値区分的多項式空間への発散写像は全射である。
• $ r \geq 5 $ のとき、$ H^1(\text{curl}) $-適合有限要素空間から発散なし空間へのカーリー写像は、次元の数え上げとオイラー乗数の恒等式により全射であることが示された。
• アーフェル分割上の離散de Rham複体は、可縮領域上で全域的に正確である。次元の一致とランク・ノルティの議論により確認された。
• 本構成により、アーフェルの $ C^1 $ 要素とチャンの安定なインフラス・スタビリティを持つストークスペアをグローバルに接続する、新たな $ H^1(\text{curl}) $-適合有限要素空間が得られる。