[論文レビュー] Exact solutions for a Solow-Swan model with non-constant returns to scale

Nicolò Cangiotti, Mattia Sensi|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2020

Economic theories and models参考文献 34被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、非定数規模報酬を想定するソロ＝スワーン成長モデルに対して、クラシカルおよびフォン・ベルタランフィー労働力動的枠組みの両方で、Cobb-Douglas生産関数を用いて、正確な解析的解を導出する。資本労働比に関する非-autonomous常微分方程式を導入し、代入と積分を用いて閉形式解を提供する。規模報酬の増加または減少に応じて、収束性や成長行動が顕著に異なることが明らかとなり、数値シミュレーションによって検証されている。

ABSTRACT

The Solow-Swan model is shortly reviewed from a mathematical point of view. By considering non-constant returns to scale, we obtain a general solution strategy. We then compute the exact solution for the Cobb-Douglas production function, for both the classical model and the von Bertalanffy model. Numerical simulations are provided.

研究の動機と目的

• 標準ネオクラスカル成長理論における制限的仮定である定数規模報酬を超えて、古典的ソロ＝スワーンモデルを拡張すること。
• 資本労働比に非定数規模報酬（増加または減少）を想定した場合の、Cobb-Douglas生産関数を用いた正確な解析的解を導出すること。
• 指数関数的（古典的）およびシグモイド的（フォン・ベルタランフィー）の2つの労働力成長ダイナミクスを想定し、非定数規模報酬下でのモデルを分析すること。
• 代入および積分法を用いて閉形式解を提供し、長期的成長経路の正確な特徴づけを可能にすること。
• 異なる規模報酬制度下での挙動を比較する数値シミュレーションを通じて、理論的予測の妥当性を検証すること。

提案手法

• 同次的生産関数（次数n）を用いて、非定数規模報酬下での資本労働比k(t)に関する非-autonomous一階常微分方程式を形式的に導出する。
• 非線形常微分方程式を線形化するための変数変換v = k^{1−α}を適用し、積分因子法を用いて正確な解を得る。
• 指数的労働力成長L(t) = L₀e^{γt}を想定する古典的モデルおよびL(t) = L∞ − (L∞ − L₀)e^{−rt}を想定するフォン・ベルタランフィー・モデルの両方について、正確な閉形式解を導出する。
• フォン・ベルタランフィー・モデルにおけるα = 1の場合に、超幾何関数₂F₁を用いて解を表現する。
• 標準的な常微分方程式ソルバーを用いて、導出された解の数値的統合を行い、異なるパrameter設定下でのダイナミクスを可視化する。
• n（規模報酬）、α（資本分配率）、初期条件の異なる値を用いて、解の挙動を体系的に比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定数規模報酬（n ≠ 1）を想定するソロ＝スワーンモデルにおいて、指数的労働力成長下での資本労働比は時間経過とともにどのように変化するか？
• RQ2 クラシカル・ソロ＝スワーン枠組み下で、非定数規模報酬とCobb-Douglas生産関数を想定した場合の、資本労働比の正確な解析的解は何か？
• RQ3 有限の労働力上限を想定するフォン・ベルタランフィー労働力成長モデルは、非定数規模報酬下での資本蓄積ダイナミクスにどのように影響を及ぼすか？
• RQ4 両モデルの変種において、増加規模報酬（n > 1）と減少規模報酬（n < 1）の長期的成長行動に顕著な質的差異は何か？
• RQ5 数値シミュレーションは、異なる規模報酬制度下での収束または爆発的成長の理論的予測をどの程度確認するか？

主な発見

• 古典的モデルにおいてn < 1（減少規模報酬）の場合、初期条件にかかわらず、指数関数および累乗関数を含む正確な解によって、資本労働比が安定した定常状態に収束することが示された。
• 古典的モデルにおいてn > 1（増加規模報酬）の場合、初期資本水準に依存せず、増加規模報酬の加速効果により、資本労働比が指数関数的に増加する。
• フォン・ベルタランフィー・モデルにおいてn < 1の場合、資本労働比は初期に急速に減少するが、その後指数関数的成長に移行し、初期値に敏感なダイナミクスを示す。
• フォン・ベルタランフィー・モデルにおいてn > 1の場合、初期段階では初期条件に強く依存するが、その後指数関数的成長に移行し、遅れてはいるが持続的な加速が見られる。
• α = 1の場合のフォン・ベルタランフィー・モデルの正確な解は、超幾何関数₂F₁を含み、非定数規模報酬とシグモイド的労働力ダイナミクスが引き起こす数学的複雑性を示している。
• 数値シミュレーションにより、フォン・ベルタランフィー・モデルは、古典的モデルと比較して、増加規模報酬と減少規模報酬のケースの乖離を緩和することが確認され、有限の労働力上限が安定化効果を及ぼす可能性を示唆している。