[論文レビュー] Exact solutions of open integrable quantum spin chains

Enej Ilievski|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2014

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 2被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、行列積状態（MPS）アンザッツを用いて、開放的可解な量子スピン鎖における非平衡定常状態（NESS）を構築する厳密な解析的枠組みを提示する。Yang-Baxter方程式による量子可解性とLindblad散乱境界項を組み合わせることで、密度行列のコレスキー分解を経て転送行列としての表現を得る。無限次元のR行列を用いた明示的構成により、その可換性を証明する。主な貢献は、可解系における異常輸送を説明する、擬局所的で広義の保存量の同定にある。

ABSTRACT

In the thesis we present an analytic approach towards exact description for steady state density operators of nonequilibrium quantum dynamics in the framework of open systems. We employ the so-called quantum Markovian semi-group evolution, i.e. a general form of time-autonomous positivity and trace-preserving dynamical equation for reduced density operators, by only allowing unitarity-breaking dissipative terms acting at the boundaries of a system. Such setup enables to simulate macroscopic reservoirs for different values of effective thermodynamic potentials, causing incoherent transitions between quantum states which are modeled with aid of the Lindblad operators. This serves as a simple minimalistic model for studying quantum transport properties, either in the linear response domain or in more general regimes far from canonical equilibrium. We are mainly exploring possibilities of identifying nonequilibrium situations which are amenable to exact description within matrix product state representation, by exclusively focusing on steady states, i.e. fixed points of the Lindblad equation, of certain prototypic interacting integrable spin chains driven by incoherent polarizing processes. Finally, we define a concept of pseudo-local extensive almost-conserved quantities by allowing a violation of time-invariance up to boundary-localized terms. We elucidate the role of such quantities on non-ergodic behaviour of temporal correlation functions rendering anomalous transport properties. It turns out that such conservation laws can be generated by means of boundary universal quantum transfer operators of the fundamental integrable models.

研究の動機と目的

• 境界散乱を伴う開放的量子スピン鎖における非平衡定常状態（NESS）を系統的に構築する厳密な解析的手法の開発。
• 量子可解性、Lindbladマスタ方程式、およびNESSの行列積状態（MPS）表現との間の体系的関係の確立。
• 可解系における非エルゴード的挙動と異常輸送を説明する、擬局所的保存量の同定と特徴付け。
• 融合、退化極限、非半単純リー代数の考察を通じて、基本的モデルを超えた枠組みの一般化。
• Liouvillianスペクトルの完全可解性への拡張可能性の検討。

提案手法

• 境界散乱項を含むLindbladマスタ方程式を用いて、非平衡に駆動される開放的量子系をモデル化。
• Yang-Baxter方程式と量子群のFaddeev–Reshetikhin–Takhtajan実現を用いて、Liouvillianのユニタリ部を構築。
• 固定点条件におけるユニタリ発展を支配する代数的機構としてSutherland方程式を導出。
• 境界適合方程式を独立して解き、散乱率と基底対称性代数の表現パラメータを関連付ける。
• 抽象的可解量子系の転送行列として、NESS密度行列のコレスキー因子を構成。
• 無限次元R行列の明示的構成により、転送行列の可換性を証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界散乱を伴う開放的可解な量子スピン鎖における、厳密な非平衡定常状態をどのように系統的に構築できるか。
• RQ2 可解モデルのNESSにおける行列積状態構造の代数的起源は何か。
• RQ3 擬局所的保存量は、境界普遍的量子転送作用素からどのように生じるのか。また、異常輸送におけるその役割は何か。
• RQ4 融合や退化極限から生じる非基本的可解モデルへ、この枠組みをどのように拡張できるか。
• RQ5 定常状態を超えて、Liouvillianスペクトルの完全可解性への一般化は可能か。

主な発見

• NESS密度行列のコレスキー因子は、抽象的可解量子系の転送行列と一致し、無限次元R行列の明示的構成によりその可換性が厳密に証明された。
• 異方的ヘイゼンベルグスピン1/2鎖に対して、Yang-Baxter方程式とSutherland方程式を第一原理として用い、境界適合条件により散乱率と対称性表現パラメータを結びつける、厳密なNESS解が得られた。
• スピン1のSU(3)不変Lai–Sutherlandモデルにおいて、2つのボソン自由度と1つの複素スピン自由度を用いた非半単純リー代数の実現により、退化したNESSが構成された。U(1)対称性により、化学ポテンシャル平衡状態におけるグランドカノニカルな非平衡系としての解釈が可能である。
• 擬局所的で広義の保存量は、時間不変性の破れが境界局所的項にのみ及ぶように定義され、高温極限においてはその寄与が無視可能になる。
• これらの擬局所的保存量は、基本的量子空間およびヴェルマモジュール上の最高重量量子転送行列から生成され、スペクトルパラメータではなく、極端重量状態付近の解析的表現パラメータに関する微分を用いる。
• この枠組みは、バルクにおいて離散的空間Lax表現が十分である可能性を示唆しており、四面体可解性などの代替的手法の可能性を開くが、非基本的モデルおよびLiouvillian完全可解性の取り扱いには未解決の課題が残る。