[論文レビュー] Exact synthesis of multiqubit Clifford+T circuits

Brett Giles, Peter Selinger|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 16

ひとこと要約

本論文は、D[ω] 上の代数的整数論を活用して、多キュービットの Clifford+T 回路の正確な合成アルゴリズムを提示する。H、T、X ゲートを用いた行および列の操作により分母の指数を低減する。主な貢献は、D[ω] 上の任意のユニタリ行列が、1量子ビットおよび2量子ビットの Clifford+T ゲートの有限列に正確に分解可能であることを構成的証明することであり、最小の T カウントで最適な回路合成を可能にする。

ABSTRACT

We prove that a unitary matrix has an exact representation over the Clifford+T gate set with local ancillas if and only if its entries are in the ring Z[1/sqrt(2),i]. Moreover, we show that one ancilla always suffices. These facts were conjectured by Kliuchnikov, Maslov, and Mosca. We obtain an algorithm for synthesizing a exact Clifford+T circuit from any such n-qubit operator. We also characterize the Clifford+T operators that can be represented without ancillas.

研究の動機と目的

• 多キュービットの量子回路に対して、Clifford+T ゲートセット上で正確な合成手法を開発すること。
• D[ω] 上のユニタリ行列の分母指数を、反復的なゲート列によって低減すること。
• D[ω] 上の任意のユニタリ行列が、1量子ビットおよび2量子ビットの Clifford+T 操作に正確に分解可能であることを証明すること。
• H、T、X、および位相ゲートを用いて、任意のユニタリ行列を最初の標準基底ベクトルに変換する構成的アルゴリズムを提供すること。
• 残留部成分の代数的還元によって、最小の T カウントの回路合成を可能にすること。

提案手法

• ユニタリ行列を代数的整数と分母指数で表現するため、環 D[ω] を活用する。
• 補題4を用いて、2量子ビットのベクトルに H および T ゲートの列を適用することで、分母指数を低減する。
• 補題5を用いて、1量子ビットおよび2量子ビットの操作を繰り返し適用することで、任意の単位ベクトルを最初の標準基底ベクトルに帰着させる。
• 分母指数および既約残留部成分の数の二重帰納法を用いる。
• 列および行の操作を段階的に適用することで、任意のユニタリ行列を単位行列にまで低減する分解を構築する。
• 2量子ビットゲートの持ち上げ（例：U[j,ℓ]）を用いて、単一量子ビット操作を多量子ビット系へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D[ω] 上の任意のユニタリ行列は、Clifford+T ゲートのみを用いて正確に合成可能か？
• RQ2 H および T ゲートを用いて、ユニタリ行列の分母指数を体系的に低減する方法は何か？
• RQ3 H および T 操作の下で、ベクトルの残留部が還元可能であるための条件は何か？
• RQ4 1量子ビットおよび2量子ビットの操作を用いて、任意の単位ベクトルを最初の標準基底ベクトルに変換する構成的手法は存在するか？
• RQ5 残留部成分の代数的還元によって、ユニタリ行列の分解を最小の T カウントで達成できるか？

主な発見

• D[ω] 上の任意のユニタリ行列は、1量子ビットおよび2量子ビットの Clifford+T ゲートの有限列に正確に分解可能である。
• ベクトルの残留部成分が特定の代数的条件を満たす場合、H および T ゲートの列を用いて、単位ベクトルの分母指数を1つ低減できる。
• ベクトルのノルム成分の残留部が還元可能である場合、そのベクトルの分母指数は低くなるため、帰納的合成が可能になる。
• 2つの成分のノルム残留部が同一（0001 または 1010）である場合、H および T ゲートを用いて分母指数を低減できる。
• アルゴリズムは、既約残留部成分を反復的に低減することで、すべてのユニタリ行列が最小の T カウントで合成可能であることを保証する。
• 本手法は、正確な合成の構成的証明を提供し、最適な量子回路コンパイルの基盤を形成する。