[論文レビュー] Exact Time-Dependent Solution to the Three-Dimensional Euler- Helmholtz and Riemann-Hopf Equations for Vortex Flow of a Compressible Medium and the Sixth Millennium Prize Problem

S. G. Chefranov, S. G. Chefranov|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、圧縮性理想流体における3次元Euler-HelmholtzおよびRiemann-Hopf方程式の最初の正確な時刻依存解を提示し、特定の条件下で渦度の有限時間内特異点形成を示している。これは乱流理論の主要な問題を正確に解き、導入された粘性または摩擦を介して圧縮性Navier-Stokes方程式の滑らかで全空間に拡張可能な解を提供し、ミレニアム賞問題の一般化された形に対する肯定的解決を示している。

ABSTRACT

For the first time the exact vortex solution of the Cauchy problem in unbounded space is obtained for the three-dimensional Euler-Helmholtz (EH) equation in the case of a nonzero-divergence velocity field for an ideal compressible medium. The solution obtained describes the inertial vortex motion and coincides with the exact solution to the three-dimensional Riemann-Hopf (RH) equation which simulates turbulence without pressure [Chefranov, 1991]. A necessary and sufficient condition of the onset of a singularity in the evolution of the enstrophy in finite time t=t0 is obtained for this solution when its continuation is possible in times t>=t0 in the Sobolev space H^0(R^3) but cannot be made in H^1(R^3). A closed description of the evolution of the enstrophy and the all other moments of the velocity and vortex fields is given, i.e., the main problem of theory of turbulence is solved exactly. The possibility of continuation of the obtained smooth solution to the EH an RH equations in the Sobolev space H^q(R^3) is also demonstrated for any q>=1 and t>=t0 due to introduction of a fairly large homogeneous friction or by introducing an arbitrary small effective volume viscosity. A new analytic solution of the Cauchy problem for the three-dimensional Navier-Stokes (NS) equation is obtained. This solution coincides with the above-mentioned smooth solution to the EH and RH equations, which take into account the viscosity effect of a compressible medium and also the sufficient condition of positive definiteness of the growth rate of the entropy in the form of a linear relation between the pressure and the divergence of the velocity field. This gives the positive solution to the generalization of the Millennium Prize Problem on the compressible Navier-Stokes equation where only the modification of viscous force is used (by introduction of homogeneous friction and etc.).

研究の動機と目的

• 非発散性速度場を有する圧縮性理想流体における3次元Euler-Helmholtz方程式の正確な時刻依存解を導出すること。
• Sobolev空間H^0(R^3)では成立するがH^1(R^3)では成立しない条件下で、渦度における有限時間特異点発生の必要十分条件を確立すること。
• 速度場および渦度場のすべてのモーメントの進化を閉形式で記述し、乱流理論の核心的問題を正確に解くこと。
• 均一な摩擦または有効体積粘性を用いて、Euler-HelmholtzおよびRiemann-Hopf方程式の滑らかな解をすべてのq ≥ 1およびt ≥ t₀についてSobolev空間H^q(R^3)に拡張すること。
• エントロピー増加条件を満たす3次元圧縮性Navier-Stokes方程式の新しい解析的解を構築し、ミレニアム賞問題の一般化形を解決すること。

提案手法

• 非発散性速度場を有する圧縮性理想流体における非有界空間内での3次元Euler-Helmholtz方程式に対する正確な渦解の導出。
• Sobolev空間解析を用いて、渦度の進化がH^1(R^3)で特異的になる臨界時刻t₀を同定し、H^0(R^3)では有限のまま保たれることを示す。
• すべてのq ≥ 1およびt ≥ t₀についてH^q(R^3)における解の全期間継続を保証するため、均一な摩擦または任意に小さい有効体積粘性を導入する。
• 導出された解が圧力と速度発散の線形関係としてエントロピー増加条件を満たしており、熱力学的整合性を保証することを示す。
• 同じ粘性およびエントロピー条件の下で、修正されたEuler-Helmholtz/Riemann-Hopf解と3次元圧縮性Navier-Stokes方程式の新しい正確解との等価性を確立する。
• Riemann-Hopf方程式を圧力なし乱流モデルとして用い、Euler-Helmholtz系への正確解との一致によって妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非発散性速度場を有する圧縮性理想流体における非有界空間内での3次元Euler-Helmholtz方程式の正確な時刻依存解は何か？
• RQ2 H^1(R^3)で渦度に有限時間特異点が発生する条件は何か？ ただし、H^0(R^3)では有界のまま保たれる。
• RQ3 t₀以降の高次のSobolev空間H^q(R^3)（q ≥ 1）において、解を全期間にわたって拡張可能か？
• RQ4 Euler-HelmholtzおよびRiemann-Hopf方程式の滑らかな解を、物理的整合性を保ちながら圧縮性Navier-Stokes方程式の解に拡張する方法は何か？
• RQ5 提案された解は、圧力と発散の線形関係として表される正のエントロピー増加率条件を満たしているか？

主な発見

• 本稿は、非発散性速度場を有する圧縮性理想流体における非有界空間内での3次元Euler-Helmholtz方程式の最初の正確な時刻依存解を導出した。
• 渦度における有限時間特異点発生の必要十分条件が確立され、その特異点は時刻t₀で発生する。この時点で解はH^0(R^3)に属するが、H^1(R^3)には拡張できない。
• 速度場および渦度場のすべてのモーメントの進化が閉形式で記述され、乱流理論の根本的問題が正確に解かれた。
• 均一な摩擦または有効体積粘性を導入することにより、すべてのq ≥ 1およびt ≥ t₀についてSobolev空間H^q(R^3)における解が全期間にわたって拡張可能である。
• 圧縮性Navier-Stokes方程式の新しい正確解が構築され、粘性およびエントロピー増加条件を満たし、粘性を用いたEuler-Helmholtz/Riemann-Hopf解と一致する。
• 解は、新たな力項を必要とせず、粘性の調整によって圧縮性Navier-Stokes方程式のミレニアム賞問題の一般化形に対して肯定的解決を提供する。