[論文レビュー] Examples of infinite dimensional Banach spaces without infinite equilateral sets

E. Glakousakis, Sophocles Mercourakis|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、無限次元で分離可能なバナッハ空間を構成し、その基底は unconditional であるが、$\ell_1$ の部分空間に同型でなく、無限個の等辺集合を含まない。有限次元バナッハ空間の直和に再帰的ノルム構成を施し、著者たちはテレンツィの手法を応用して、このような空間が等辺列を避けるようにノルムを再定義できることを示した。これは $\ell_1$ とは異なる新しい例を提供する。主な貢献は、cotype が 2 より大きい非 $\ell_1$ 空間に対し、テレンツィの結果を一般化することにある。

ABSTRACT

An example of an infinite dimensional and separable Banach space is given, that is not isomorphic to a subspace of l1 with no infinite equilateral sets.

研究の動機と目的

• テレンツィの無限個の等辺集合を含まないバナッハ空間の構成法を、$\ell_1$ 以外の無限次元空間へ拡張すること。
• $\ell_1$ の部分空間に同型でないが、unconditional 基底を備えた分離可能なバナッハ空間が、依然として無限個の等辺集合を含まないことを示すこと。
• 有限次元成分における再帰的・帰納的定義によるノルム再定義法を、このような空間の構成に一般化すること。
• cotype $>2$ の空間ですら、$\ell_1$ に同型でない場合でも、等辺列を避けるようにノルムを再定義できることを確立すること。

提案手法

• 有限次元バナッハ空間 $(X_n)$ に値をとる、台がコンパクトな列の空間 $c_{00}((X_n))$ に再帰的ノルム $\|\cdot\|$ を定義し、最後の成分の重み付き平均と接頭部のノルムを用いる。
• 誘導されたノルムが $\sum_{n=1}^m (1 - \frac{1}{n+1})\|x_n\|_n \leq \| (x_1,\dots,x_m) \| \leq \sum_{n=1}^m \|x_n\|_n$ を満たすことを証明し、元の $\ell_1$-和ノルムと同値であることを保証する。
• 空間を完備化してバナッハ空間 $X$ を得る。$X$ が元の $Z = (\sum_{n=1}^\infty \oplus X_n)_1$ と 2-同型であることを示し、重要な幾何的性質を保つ。
• ステップ5で帰納的背理法を用い、無限個の等辺集合が存在すると仮定し、新しいノルム下での三角不等式の違反を導くことで、そのような集合が存在しないことを示す。
• $X_n = \ell_p^n$ に適用し、$p > 2$ とすることで、結果として得られる空間の cotype が $\geq p > 2$ であることを保証する。これにより、$\ell_1$ に同型でないことが保証される。
• $\ell_1$-埋め込みと cotype に関する既知の結果を活用し、構成された空間が $\ell_1$ の部分空間に同型でないが、依然として等辺列を含まないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テレンツィの無限個の等辺集合を含まないバナッハ空間の構成法は、$\ell_1$ から拡張され、他の無限次元空間に対しても一般化可能か？
• RQ2 $\ell_1$ の部分空間に同型でないが、unconditional 基底を備えた分離可能なバナッハ空間が、依然として無限個の等辺集合を含まないか？
• RQ3 cotype は、再定義された $\ell_1$-和の有限次元空間に等辺集合が存在するか否かにどのような役割を果たすか？
• RQ4 1-unconditional 基底を備えたバナッハ空間の $\ell_1$-和に再帰的・帰納的ノルム構成を施すことで、等辺列を含まない空間が得られるか？
• RQ5 cotype $>2$ の空間を、無限個の等辺集合を含まないまま構成することは可能か？

主な発見

• この論文は、再帰的ノルム構成において $X_n = \ell_p^n$ ととることで、$\ell_1$ の部分空間に同型でない、unconditional 基底を備えた分離可能なバナッハ空間 $X$ を構成した。
• 構成された空間 $X$ は、無限個の等辺集合を含まない同値ノルムを備え、テレンツィの結果を $\ell_1$ から非 $\ell_1$ 空間に一般化した。
• 空間 $X$ は cotype $\geq p > 2$ を持ち、$\ell_1$ は cotype 2 を持つため、標準的な cotype とタイプに関する結果から、$X$ は $\ell_1$ の部分空間に同型でない。
• 証明はステップ5の背理法に依拠しており、無限個の等辺集合が存在すると仮定すると、新しいノルム下で三角不等式が破られることが導かれる。
• 再帰的ノルム構成により、ベクトルのノルムが成分のノルムの和よりも厳密に小さいように保証され、これにより等辺配置が防がれる。
• この手法により、テレンツィのアプローチが1次元成分から、より高次元で1-unconditional 基底を備えた成分へと自然に拡張され、無限個の等辺集合の存在に対する新たな反例が得られた。