[論文レビュー] Exceptional Groups and Physics

Pierre Ramond|ArXiv.org|Jan 8, 2003

Computational Physics and Python Applications参考文献 1被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、E6、E7、E8といった特異的リー群が、基本粒子と力の統一に果たす役割を調査する。標準模型のゲージ構造は自然にE6に埋め込まれており、E8×E8ヘテロティック超重力理論は11次元物理学とのより深い関係を示唆するが、特異的群と時空対称性、スピン統計の法則の整合性をとる課題は残っている。主な貢献は、Euler三重項と特異的ジョルダン代数を介して、特異的代数を電荷空間と高次元超重力理論に結びつける枠組みの構築である。

ABSTRACT

Quarks and leptons charges and interactions are derived from gauge theories associated with symmetries. Their space-time labels come from representations of the non-compact algebra of Special Relativity. Common to these descriptions are the Lie groups stemming from their invariances. Does Nature use Exceptional Groups, the most distinctive among them? We examine the case for and against their use. They do indeed appear in charge space, as the Standard Model fits naturally inside the exceptional group $E_6$. Further, the advent of the $E_8 imes E_8$ Heterotic Superstring theory adds credibility to this venue. On the other hand, their use as space-time labels has not been as evident as they link spinors and tensors under space rotations, which flies in the face of the spin-statistics connection. We discuss a way to circumvent this difficulty in trying to generalize eleven-dimensional supergravity.

研究の動機と目的

• 特異的リー群E6、E7、E8が、素粒子物理学および時空対称性の根本的構造を規定しているかどうかを評価すること。
• 標準模型のゲージ群SU(3)×SU(2)×U(1)がE6にどのように埋め込まれるかを調査し、大統一理論への含意を検討すること。
• E8×E8ヘテロティック超重力理論と11次元超重力理論が、特異的群の物理的正当性をどのように支持するかを検討すること。
• 特異的群と時空対称性、特にスピン統計の法則との整合性をとる課題に取り組むこと。
• 特異的ジョルダン代数（EJA）が、特にその自己同型群F4を介して、統一理論の内部電荷空間としての可能性を検討すること。

提案手法

• 27次元の基本表現を介して、標準模型のゲージ群SU(3)×SU(2)×U(1)がE6に埋め込まれる仕組みを分析し、その中にSO(10)の16次元スピンルールが含まれることを示す。
• ティツとフロイデンタールのマジック・スクエア構成を用い、オクタニオンを含むハーツ代数から特異的リー代数を導出し、オクタニオン上の3×3反エルミート的トレースゼロ行列からE8を構成する。
• 11次元超重力理論におけるEuler三重項を導入し、スピン>3/2の質量ゼロの粒子がF4表現に従う場の多重項として記述されることを示す。
• 超重力振幅の発散を回避するために、Euler三重項の無限和にゼータ関数正則化を適用し、異常項のキャンセルを目指す。
• 特異的ジョルダン代数（EJA）をオクタニオン上の非可換な観測量の代数として扱い、自己同型群F4を有する。その物理的解釈として、内部電荷空間としての可能性を検討する。
• 11次元における光円錐の小さな群SO(9)をF4の部分群として特定する可能性を検討し、整合性を保つためにSO(9)変換性の外部場への結合を必要とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準模型のフェルミオンの内容とゲージ対称性は、特異的群E6に自然に埋め込まれるか？
• RQ2 E8×E8ヘテロティック超弦理論は、重力とゲージ相互作用の統一に特異的群を用いることの物理的正当性を提供するか？
• RQ3 スピンと統計の法則に反するスピンルールとテンソル表現の混合を示す特異的群を、時空対称性群として一貫して使用できるか？
• RQ4 11次元超重力理論におけるEuler三重項の無限塔は、ゼータ関数正則化により異常項のキャンセルをもたらすか？
• RQ5 特異的ジョルダン代数は、特に高次元において、統一物理理論の内部電荷空間として実用的候補となるか？

主な発見

• 標準模型のクォークとレプトンの3世代が、E6の27次元基本表現に自然に収まり、その中にSO(10)の16次元スピンルールが埋め込まれている。
• E6は、異常を持たない複素表現（27次元）を有する唯一の特異的群であり、大統一理論の候補として特異的である。
• E8リー代数は、オクタニオン上の3×3反エルミート的トレースゼロ行列とその自己同型群を用いた構成から得られ、最大の特異的リー代数となる。
• 11次元超重力理論におけるEuler三重項には、スピンが増加する場が含まれ、最高スピン状態はF4表現に従う。その量子数は、2形式場の放出を示唆する。
• 11次元超重力振幅の発散は、F4表現の次元が24次多項式であり、そのゼータ関数値が偶数整数で消えることから、Euler三重項の無限和にゼータ関数正則化を適用することでキャンセル可能である。
• オクタニオン上の3×3エルミート行列からなる特異的ジョルダン代数は自己同型群F4を有し、その構造は特にSO(9)が11次元における光円錐の小さな群と特定される場合、非可換な基礎を統一電荷空間に与える可能性を有する。