[論文レビュー] Exceptional Loci on $\bar M_{0,n}$ and Hypergraph Curves

Ana-Maria Castravet, Jenia Tevelev|ArXiv.org|Sep 10, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ハイパーグラフ曲線とそのブリル・ノイマン・ローカスを用いて、$\ overline{M}_{0,n}$ 上の新しい極値的除斥と剛性曲線を構成する。忘却写像を $\ overline{M}_{0,k}$ の積への写像として解釈することで、$M_{0,n}$ と交わる例外的集合を同定し、有効なコーン内に新しい極値的射を生じさせ、$n=12$ の場合に $M_{0,n}$ 内に存在する初めて知られる1次元の例外的曲線（剛性を有する）を提供する。これはフォルトゥンの予想に対する反例の可能性を示唆する。

ABSTRACT

We give a myriad of examples of extremal divisors, rigid curves, and birational morphisms with unexpected properties for the Grothendieck--Knudsen moduli space $\bar M_{0,n}$ of stable rational curves. The basic tool is an isomorphism between $M_{0,n}$ and the Brill--Noether locus of a very special reducible curve corresponding to a hypergraph.

研究の動機と目的

• $\overline{M}_{0,n}$ 上で、通常の高種数モジュライ空間の挙動とは対照的に、$M_{0,n}$ と交わる新しい極値的除斥と剛性曲線を構成すること。
• ハイパーグラフ曲線とそのブリル・ノイマン・ローカスを用いて、$\ overline{M}_{0,n}$ の有効コーン内に極値的射を幾何学的に構成すること。
• ハイパーグラフから定義される写像の例外的集合を分析することで、$\ overline{M}_{0,n}$ の双有理幾何を調査すること。
• 双有理写像の例外的集合が境界に完全に含まれるという期待とは対照的に、内部成分を有することを示すことにより、$\ overline{M}_{0,n}$ における例外的集合の性質に疑問を呈すること。

提案手法

• ハイパーグラフ $\Gamma = \{\Gamma_1, \dots, \Gamma_d\}$ を $\{1, \dots, n\}$ の部分集合の族として定義し、忘却写像の積として $\pi_\Gamma: \overline{M}_{0,n} \to \prod_{i=1}^d \overline{M}_{0,\Gamma_i}$ を構成する。
• 可約ハイパーグラフ曲線のブリル・ノイマン・ローカスから生じる写像として $\pi_\Gamma$ を実現し、例外的集合の明示的計算を可能にする。
• $M_{0,n}$ と特別な可約曲線のブリル・ノイマン・ローカスとの同型性を用いて、曲線の幾何的性質を $\ overline{M}_{0,n}$ 上の除斥類および曲線類に翻訳する。
• ブリル・ノイマン理論およびネロン・セベール理論の技法を用い、特に反ネフ正規束と境界除斥のアーマー・サポートに注目して、有効コーンおよびモーリー・コーンを分析する。
• 双対ヘッセ・ハイパーグラフを用いて、$\ overline{M}_{0,12}$ 内に1次元の例外的曲線を構成し、それが $M_{0,12}$ と交わること、かつ剛性を有することを示す。
• 交差理論と曲面への引き戻しを用いた数値的基準を適用し、極値的射を生成する任意の移動曲線は、剛性を有する場合を除き境界上に存在しなければならないことを示し、そのような曲線が $M_{0,n}$ と交わるならば矛盾が生じることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双有理写像の例外的集合が、高種数とは対照的に $\overline{M}_{0,n}$ の開集合 $M_{0,n}$ と交わることは可能か？
• RQ2 ハイパーグラフ曲線は、境界除斥やその引き戻し以外の新しい極値的除斥を $\overline{M}_{0,n}$ の有効コーン内に生じさせるか？
• RQ3 $M_{0,n}$ と交わる剛性曲線が存在し、フォルトゥンのモーリー・コーンに関する予想の反例となり得るか？
• RQ4 ハイパーグラフ法によって構成可能な新しい極値的射の数はどれほどで、$n$ と共にどのように増加するか？
• RQ5 $\overline{M}_{0,n}$ は、$n$ 個の点での $\mathbb{P}^2$ の吹き上げで被覆可能か？$n=5$ の場合に既知の構成を一般化できるか？

主な発見

• 本稿は、双対ヘッセ・ハイパーグラフを用いて、$\overline{M}_{0,12}$ 内に1次元の例外的曲線を構成し、それが $M_{0,12}$ と交わることを示した。これは、モジュライ空間の内部に存在する初めて知られるようなこのような曲線の例である。
• ハイパーグラフ構成から生じる新しい極値的射の数は $n$ と共に急速に増加する。定理3.12におけるフィボナッチ的帰納的構成により、多数のこのような射が得られる。
• 任意のハイパーグラフ写像 $\pi_\Gamma: \overline{M}_{0,n} \to Z$ に対して、$Z$ が滑らかであれば、例外的集合は除斥的であり、$\overline{\operatorname{Eff}}(\overline{M}_{0,n})$ 内に極値的射を生成する。これは、補題3.3で示された。
• 著者らは、$\overline{M}_{0,n}$ 内の極値的射を生成する任意の移動曲線は、剛性を有する場合を除き境界上に存在しなければならないことを証明した。彼らは $\overline{M}_{0,12}$ 内にそのような剛性曲線を構成し、フォルトゥンの予想に対する反例の可能性を示唆した。
• 本稿は、$\overline{M}_{0,n}$ が $n$ 個の点での $\mathbb{P}^2$ の吹き上げで被覆可能であることを示した。これは、既知の事実（$\overline{M}_{0,5}$ が4点での $\mathbb{P}^2$ の吹き上げであること）を一般化する。
• 著者らは、ハイパーグラフ写像の例外的集合が、すべての可能な次元の既約成分を有することを確立した。特に、$M_{0,n}$ と交わる1次元成分を含む。これは、高種数モジュライ空間とは顕著に異なる特徴である。