[論文レビュー] Excision of Skein Categories and Factorisation Homology

Juliet Cooke|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2019

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、スケイン圏が切除を満たすことを証明し、それらが曲面におけるk線形因子化ホモロジーであることを確立する。さらに、スケイン圏の自由ココミpletionが局域的に有限生成的因子化ホモロジーを回復することを示し、一般の量子群パラメータをもつ穴あき曲面のスケイン代数が、キャラクター多様体の変形量子化を提供することを示している。

ABSTRACT

We prove that the skein categories of Walker--Johnson-Freyd satisfy excision. This allows us to conclude that skein categories are $k$-linear factorisation homology and taking the free cocompletion of skein categories recovers locally finitely presentable factorisation homology. An application of this is that the skein algebra of a punctured surface related to any quantum group with generic parameter gives a quantisation of the associated character variety.

研究の動機と目的

• スケイン圏がホモロジー理論の基礎的性質である切除を満たすことを確立すること。
• スケイン圏が向き付けられた曲面についてk線形因子化ホモロジーと同値であることを示すこと。
• スケイン圏の自由ココミpletionが局所的に有限生成的因子化ホモロジーを回復することを示すこと。
• 穴あき曲面のスケイン代数が一般の量子群パラメータをもつ場合、キャラクター多様体の変形量子化を提供することを証明すること。

提案手法

• k線形圏のタマバラ相対テンソル積を用いて、スケイン圏における切除構造を定義する。
• 切除と普遍性による因子化ホモロジーの特徴づけを適用し、スケイン圏と比較する。
• タマバラの相対テンソル積とCat×kにおけるコロイムベースの相対テンソル積の同値性を確立する。
• 自由およびカウチココミpletionを用いて、スケイン圏と局所的に有限生成的圏との関係を確立する。
• プロファンクタ圏とコンパクト・プロジェクト型対象を用いて、スケイン圏のカウチココミpletionを同定する。
• ベン＝ツヴィ、ブロヒャー、ジョーダンによる、穴あき曲面の量子群係数因子化ホモロジーに関する結果を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケイン圏は、トポロジカル量子場理論の意味で切除を満たすか？
• RQ2 スケイン圏とk線形因子化ホモロジーの間には同値性が存在するか？
• RQ3 スケイン圏の自由ココミpletionは、局所的に有限生成的因子化ホモロジーと同定可能か？
• RQ4 一般の量子群パラメータをもつ穴あき曲面のスケイン代数は、キャラクター多様体の変形量子化を提供するか？

主な発見

• スケイン圏はタマバラの相対テンソル積に関して切除を満たし、ジョンソン＝フレイドの予想を裏付ける。
• 任意の向き付けられた曲面Σに対して、スケイン圏SkV(Σ)とk線形因子化ホモロジーZCat×k(Σ)の間に自然な同値が存在する。
• スケイン圏SkA(Σ)の自由ココミpletionは、リボン圏Aの自由ココミpletionのLFPk因子化ホモロジーZLFPk(Σ)に同値である。
• スケイン圏のカウチココミpletionは、LFPk因子化ホモロジーにおけるコンパクト・プロジェクト型対象の完全部分圏に同値である。
• 穴あき曲面のスケイン代数SkAlgRepfdq(G)(Σ)は、LFPk因子化ホモロジーZLFPk(Σ)Repq(G)の不変量の代数と同型であり、キャラクター多様体ChG(Σ)の変形量子化であることが証明された。
• ℂ×の元qが1の根ではない一般のqに対して、スケイン代数SkAlgRepfdq(G)(Σ)は、キャラクター多様体ChG(Σ)の変形量子化であることが、量子キャラクター多様体理論の要請を満たす。