[論文レビュー] Existence and approximation of fixed points of vicinal mappings in geodesic spaces

Fumiaki Kohsaka|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2017

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、曲率が1未満に有界な測地的距離空間において、付近的および強付近的写像を導入し、距離がπ/2未塔の完備CAT(1)空間における不動点の存在および収束定理を確立する。主な貢献は、強付近的写像（例えば、凸関数の解像写像）が、反復列のΔ収束を最小化点へ保証することであり、ヒルバート空間でない空間における不動点理論および最適化理論の新たな結果を可能にする。

ABSTRACT

We propose the concepts of vicinal mappings and firmly vicinal mappings in metric spaces. We obtain fixed point and convergence theorems for these mappings in complete geodesic spaces with curvature bounded above by one and apply our results to convex optimization in such spaces.

研究の動機と目的

• 曲率が1未満に有界な距離空間における付近的および強付近的写像の定義と研究。
• 直径がπ/2未塔の完備CAT(1)空間におけるこのような写像の不動点の存在定理の確立。
• 強付近的写像によって生成される反復列のΔ収束を不動点へ保証することの証明。
• 解像写像が強付近的であることを示し、最小化点への収束を保証することで、凸最適化への応用。
• ハダマード空間（CAT(0)）における不動点理論および最適化理論を、有界直径を満たすCAT(1)空間へ一般化すること。

提案手法

• 任意の二点間の距離が≤π/2である距離空間における付近的写像の概念を提案し、写像の像からの距離を含む余弦不等式によって定義する。
• ヒルバート空間における強非拡大性を一般化するより強い不等式を満たす強付近的写像を導入する。
• CAT(1)空間の幾何的構造と単位球面との比較原理を用いて、不動点の存在および収束に関する結果を導出する。
• CAT(1)空間における凸関数の解像写像に理論を適用し、$ R_f x = \text{argmin}_y \big\bracevert f(y) + \tan d(y,x) \tan d(y,x) \big\bracevert $ で定義される解像写像 $ R_f $ が強付近的であることを示す。
• 距離空間におけるΔ収束の概念を用い、写像 $ T $ による反復 $ T^n x $ の漸近的挙動を分析する。
• θ > 0 に対する一般化された $ \text{CAT}(\theta) $ 空間に対し、距離をθ倍してスケーリングすることにより、θ-付近的および強θ-付近的写像を定義し、結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直径がπ/2未塔の完備CAT(1)空間における付近的写像が不動点を持つための条件は何か？
• RQ2 強付近的写像によって生成される反復列が、このような空間でΔ収束することが保証されるか？
• RQ3 CAT(1)空間における凸関数の解像写像は、新たに定義された強付近的写像とどのように関係するか？
• RQ4 幾何的曲率の上限（CAT(1)）とプロキマル型アルゴリズムの収束挙動との関係は何か？
• RQ5 ハダマード空間における非拡大写像の不動点理論は、有界直径の条件下でCAT(1)空間へ拡張可能か？

主な発見

• 直径がπ/2未塔の完備CAT(1)空間において、任意の付近的写像 $ T $ は、ある点 $ x $ が存在して $ \text{diam}(\text{orb}(x)) < \frac{\theta}{2} $ かつ $ \text{diam}(\text{orb}(x)) < \frac{\theta}{2} $ を満たす場合、不動点を有する。ここで $ \theta = \frac{?}{2} $ であり、軌道が球面的有界であることを保証する。
• 直径が $ \frac{\theta}{2} $ 未塔の完備CAT(1)空間において、任意の強付近的写像 $ T $ に対して、任意の $ x \notin \text{Fix}(T) $ について、列 $ \big\bracevert T^n x \big\bracevert $ は、軌道が球面的有界である限り、不動点へΔ収束する。
• 直径が $ \frac{\theta}{2} $ 未塔の完備CAT(1)空間において、properで下半連続な凸関数 $ f $ の解像写像 $ R_f $ は強付近的であり、したがって $ R_f $-反復列は $ f $ の最小化点へΔ収束する。
• 関数 $ f $ の最小化点の集合が空でないための必要十分条件は、ある $ x \notin \text{Fix}(R_f) $ が存在し、$ \big\bracevert R_f^n x \big\bracevert $ が球面的有界かつ $ \text{diam}(\text{orb}(x)) < \frac{\theta}{2} $ を満たすことである。
• $ \text{CAT}(\theta) $ 空間（$ \theta > 0 $）に対しては、距離を $ \theta $ 倍してスケーリングすることにより、θ-付近的および強θ-付近的写像の結果が拡張され、θ-付近的および強θ-付近的写像についても同様の存在および収束定理が得られる。
• このような空間において、強付近的写像の不動点集合が空でないための必要十分条件は、ある点の軌道が球面的有界であり、かつステップサイズが収束半径内に保たれることである。