[論文レビュー] Existence and asymptotic behaviour of solutions for a quasi-linear schrodinger-poisson system under a critical nonlinearity

Giovany M. Figueiredo, Gaetano Siciliano|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、variational method と concentration-compactness 技法を用いて、$\mathbb{R}^3$ における臨界非線形性を有する擬線形シュレーディンガー＝ポアソン系に対して解の存在を確立する。$\lambda > \lambda^*$ のとき、すべての $\epsilon > 0$ に対して解が存在し、$\epsilon \to 0^+$ のとき、これらの解は標準的シュレーディンガー＝ポアソン系の解に収束する。臨界成長条件下での漸近的安定性が確認された。

ABSTRACT

In this paper we consider the following quasilinear Schrödinger-Poisson system $$ \left\{ \begin{array}[c]{ll} - Δu +u+ϕu = λf(x,u)+|u|^{2^{*}-2}u &\ \mbox{in } \mathbb{R}^{3} \\ -Δϕ-\varepsilon^{4} Δ_4 ϕ= u^{2} & \ \mbox{in } \mathbb{R}^{3}, \end{array} ight. $$ depending on the two parameters $λ,\varepsilon>0$. We first prove that, for $λ$ larger then a certain $λ^{*}>0$, there exists a solution for every $\varepsilon>0$. Later, we study the asymptotic behaviour of these solutions whenever $\varepsilon$ tends to zero, and we prove that they converge to the solution of the Schrödinger-Poisson system associated.

研究の動機と目的

• 非局所的静電ポテンシャルが $4$-ラプラシアン項によって支配される $\mathbb{R}^3$ における臨界成長を有する擬線形シュレーディンガー＝ポアソン系に対して、非自明な解の存在を確立すること。
• $\varepsilon \to 0^+$ のときの解の漸近的挙動を分析し、系が古典的シュレーディンガー＝ポアソン系に還元される極限状態を特定すること。
• $H^1(\mathbb{R}^3)$ および関連するポテンシャル空間 $D^{1,2}(\mathbb{R}^3)$ において、解が強く収束することを証明し、ポテンシャル項 $\varepsilon \phi_\varepsilon$ が $D^{1,4}(\mathbb{R}^3)$ で消えることを見ること。

提案手法

• エネルギー汎関数の臨界点を求めるために、mountain pass 定理と concentration-compactness 原理を用いた variational method が用いられる。
• シュレーディンガー方程式に、非線形ポアソン方程式 $-\Delta\phi - \varepsilon^4\Delta_4\phi = u^2$ の解 $\phi_\varepsilon(u)$ を代入することで、系を再定式化する。
• 非線形項 $f(x,u)$ および臨界項 $|u|^{2^*-2}u$ に切り詰め技術（truncation technique）を適用し、$H^1(\mathbb{R}^3)$ におけるコンパクト性議論を可能にする。
• 解の収束性を $\varepsilon \to 0^+$ のとき、$\phi_\varepsilon(u_\varepsilon)$ が $D^{1,2}(\mathbb{R}^3)$ で強く収束すること、および $\varepsilon\phi_\varepsilon(u_\varepsilon) \to 0$ が $D^{1,4}(\mathbb{R}^3)$ で成り立つことの証明により分析する。
• 正の $4$-ラプラシアン方程式の解の正の性質に基づくブートストラップ法により、解に対する事前 $L^\infty$ 界を確立する。
• 弱収束（$H^1$ で）、$L^p$（$p \in [2,6)$ で）の強収束、および compact support を持つテスト関数の使用により、弱形式における極限の取り扱いを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\lambda > 0$ のどの値に対して、すべての $\varepsilon > 0$ に対して擬線形シュレーディンガー＝ポアソン系に非自明な解が存在するか？
• RQ2 $\varepsilon \to 0^+$ のときの解の漸近的挙動は何か？ そして、それらは古典的シュレーディンガー＝ポアソン系の解に収束するか？
• RQ3 エネルギー汎関数が臨界成長の場合に Palais-Smale 条件を満たすか？ これにより variational method の適用が可能になるか？

主な発見

• $\lambda > \lambda^*$ に対して、すべての $\varepsilon > 0$ に対して非自明な解 $u_{\lambda,\varepsilon}$ が存在し、mountain pass 定理により確立される。
• $\varepsilon \to 0^+$ のとき、解 $u_{\lambda,\varepsilon}$ は $H^1(\mathbb{R}^3)$ で強く収束し、古典的シュレーディンガー＝ポアソン系の解 $u_{\lambda,0}$ に収束する。
• ポテンシャル $\phi_\varepsilon(u_{\lambda,\varepsilon})$ は $D^{1,2}(\mathbb{R}^3)$ で $\phi_0(u_{\lambda,0})$ に収束し、$\varepsilon\phi_\varepsilon(u_{\lambda,\varepsilon}) \to 0$ が $D^{1,4}(\mathbb{R}^3)$ で成り立つ。これにより、極限系が適切に定義されていることが確認される。
• mountain pass のエネルギー準位 $c_{\lambda,\varepsilon}$ は $\varepsilon \to 0^+$ のとき $c_{\lambda,0}$ に収束する。これは、摂動下での臨界レベルの安定性を示している。
• 超臨界系（$p > 2^*$）において、解に対して一様な $L^\infty$ 界が確立され、十分大きな $\lambda$ に対して解が元の系の解に収束することが保証される。
• 解 $u_{\lambda,\varepsilon}$ が正であり、$\varepsilon$ に依存しない有界性を持つことが示され、$-\Delta\phi - \varepsilon^4\Delta_4\phi = u^2$ の解の正の性質に依拠している。