[論文レビュー] Existence and concentration of ground state solutions for a critical nonlocal Schrödinger equation in $\R^2$

Claudianor O. Alves, Daniele Cassani+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 28被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、$ \mathbb{R}^2 $ における特異的摂動パラメータ $\varepsilon$ を持つ臨界的非局所シュレーディンガー方程式に対して、地面状態解の存在と濃縮を確立する。非線形性は、Trudinger-Moser の意味で臨界的指数的成長を示す。変分法と濃縮-コンパクトネスの議論を用いて、著者たちは $\varepsilon \to 0$ のとき、解がポテンシャル $V(x)$ の最小点に濃縮することを証明している。非線形性およびポテンシャル関数に関する適切な仮定の下で成立する。

ABSTRACT

We study the following singularly perturbed nonlocal Schrödinger equation $$ -\vr^2Δu +V(x)u =\vr^{μ-2}\Big[\frac{1}{|x|^μ}\ast F(u)\Big]f(u) \quad \mbox{in} \quad \R^2, $$ where $V(x)$ is a continuous real function on $\R^2$, $F(s)$ is the primitive of $f(s)$, $0

研究の動機と目的

• 臨界的指数的非線形性を有する $\mathbb{R}^2$ における特異的摂動非局所シュレーディンガー方程式の地面状態解の存在を確立すること。
• 摂動パrameter $\varepsilon \to 0$ のとき、これらの解の濃縮行動を分析すること。
• 2次元のTrudinger-Moser設定における臨界的成長を有する非局所方程式に変分法を拡張すること。
• semiclassische極限において、解がポテンシャル $V(x)$ の局所的最小点に濃縮することを証明すること。

提案手法

• 非局所シュレーディンガー方程式に関連するエネルギー汎関数を最小化するために変分法が用いられる。
• 臨界的非線形性は、2次元における指数的成長を制御するTrudinger-Moser不等式を用いて取り扱われる。
• 最小化列の挙動を制御し、コンパクトネスを保証するためにペナルティ技法が用いられる。
• 濃縮-コンパクトネスの議論とMoser型推定が、解の $L^\infty$ ノルムを制御するために適用される。
• 変数変換 $v = u(\cdot / \varepsilon)$ を用いて、特異的摂動問題を $\mathbb{R}^2$ における固定問題に変換し、$\varepsilon \to 0$ の極限の分析を容易にする。
• 証明は、解の列の有界性と一様収束性に依拠しており、解の最大点が $V(x)$ の最小点に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形性が $\varepsilon$ に依存し、臨界的指数的成長を示す $\mathbb{R}^2$ における臨界的非局所シュレーディンガー方程式に対して、地面状態解が存在するか？
• RQ2 $\varepsilon \to 0$ のとき、解の濃縮および局在化の挙動はどのように変化するか？
• RQ3 semiclassische極限において、解の濃縮がポテンシャル $V(x)$ の最小点に関連づけられるか？
• RQ4 Trudinger-Moser型非線形性は、$\mathbb{R}^2$ における解の存在およびコンパクトネスを保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 解の $L^\infty$ ノルムは、非自明な濃縮を保証するために、ゼロから一様に下界をもつか？

主な発見

• 本稿では、臨界的指数的成長条件の下で、与えられた非局所シュレーディンガー方程式が $\mathbb{R}^2$ に地面状態解を有することを証明している。
• $\varepsilon \to 0$ のとき、解はポテンシャル $V(x)$ の局所的最小点に濃縮する。解の最大点は、$V(y) = V_0$ を満たす点 $y$ に収束する。
• 解の $L^\infty$ ノルムは、正の定数 $\delta_0$ によって一様に下から有界であるため、消滅しない濃縮が保証される。
• 濃縮は $n$ に関して一様であり、$\lim_{|x| \to \infty} v_n(x) = 0$ が $n$ に関して一様に成り立つため、解の空間的減衰が確認される。
• $\varepsilon \to 0$ の極限における限界問題は、適切に定義されており、解は $\mathbb{R}^2$ における非摂動方程式の解に収束することが示された。
• 著者たちは、解の列 $\{v_n\}$ が $L^\infty$ で有界であることを確立した。これは、濃縮およびコンパクトネスの証明に不可欠である。