[論文レビュー] Existence and cost of boundary controls for a degenerate/singular parabolic equation

Umberto Biccari, Víctor Hernández-Santamaría+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 48被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、パrameter α ∈ [0,1) および μ ≤ (1−α)²/4 に依存する係数をもつ退化・特異な放物型方程式について、モーメント法を用いて境界ゼロ制御性を確立する。x=0 または x=1 における制御の存在を証明し、制御コストの α および μ に関する鋭い明示的推定値を提示。時間 T および固有値ギャップに指数関数的依存が示される。

ABSTRACT

In this paper, we consider the following degenerate/singular parabolic equation $$ u_t -(x^\\alpha u_{x})_x - \\frac{\\mu}{x^{2-\\alpha}} u =0, \\qquad x\\in (0,1), \\ t \\in (0,T), $$ where $0\\leq \\alpha <1$ and $\\mu\\leq (1-\\alpha)^2/4$ are two real parameters. We prove the boundary null controllability by means of a $H^1(0,T)$ control acting either at $x=1$ or at the point of degeneracy and singularity $x=0$. Besides we give sharp estimates of the cost of controllability in both cases in terms of the parameters $\\alpha$ and $\\mu$. The proofs are based on the classical moment method by Fattorini and Russell and on recent results on biorthogonal sequences.

研究の動機と目的

• 退化と特異性を併せ持つ放物型PDEの境界ゼロ制御性を確立すること。
• 制御が退化・特異点 x=0 または x=1 に施された場合の制御可能性コストを分析すること。
• パrameter α および μ に依存する制御コストの鋭い明示的推定値を導出すること。
• 臨界的なハーディー型ポテンシャルを有する特異的・退化型作用素へのモーメント法の拡張。
• 特に強力に退化する領域における、このような作用素の境界制御可能性に関する未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• 制御問題を時間に関するモーメント問題に還元するために、古典的な Fattorini-Russell モーメント法を採用。
• 関連するスツルム＝リウヴィル作用素の固有値および固有関数を導出するためのスペクトル解析。
• 退化・特異作用素のスペクトル構造に適合した双直交列の使用。
• 関連エネルギー空間の強制性を保証するための一般化されたハーディー不等式の応用。
• 双直交列および固有関数の減衰に関する推定値を用いて、制御の L² 範囲の下界を導出。
• ベッセル関数およびその微分を用いて、第一固有関数およびその正規化定数を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パrameter α および μ をもつ退化・特異な放物型方程式について、境界制御が x=0 または x=1 で実行可能かどうか。
• RQ2 両境界制御設定における制御コストがパrameter α および μ にどのように依存するか。
• RQ3 作用素のスペクトル的性質が、退化および特異性の存在下での制御可能性コストに与える影響は。
• RQ4 臨界的ハーディー補勢 μ/x²⁻ᵅ が μ ≤ (1−α)²/4 を満たす場合、モーメント法をどのように適応可能にするか。
• RQ5 強力に退化する場合（α ≥ 1）におけるモーメント法の限界は何か。代替的手法は必要か。

主な発見

• すべての α ∈ [0,1) および μ ≤ (1−α)²/4 に対して、x=1 または x=0 における境界制御によりゼロ制御性が達成される。
• 制御コストは時間区間 T に対して指数関数的依存を示し、exp(−C(1−α)²T) および exp(C/T) の形の境界を持つ（T が小さい場合）。
• μ < μ(α) = (1−α)²/4 の場合、制御コストは C_ctr-bd ≥ C_u / (√μ(α) + √(μ(α)−μ)) × exp(−C(1−α)²T) × exp(C/T) / T⁴ を満たす。
• μ = μ(α) の場合、より複雑な対数的依存が現れる：exp(−C[1+√(μ(α)−μ)]²T) × exp(−C[√(μ(α)−μ)]⁴ᐟ³(ln(√(μ(α)−μ)) + ln(1/T)))。
• L² 範囲の下界は、第一双直交列およびベッセル関数の減衰から導出される。
• 与えられた仮定のもとで、コスト推定値の指数的係数を改善することは不可能であるため、結果は鋭い。