[論文レビュー] Existence and Regularity of solutions to 1-D Fractional Order Diffusion Equations

Lueling Jia, Huanzhen Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2018

Fractional Differential Equations Solutions被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、リーマン・リウビルおよびリーマン・リウビル・カプトの作用素を用いた1次元定常分数拡散方程式の解の存在および正則性を確立する。解の正則性が右辺関数および境界条件に強く依存することを示しており、リーマン・リウビル作用素のカーネルは代数的特異性を示すが、リーマン・リウビル・カプト作用素のカーネルは代数的に正則であるため、ディリクレおよびノイマン条件の下での適切な定式化についての明確な理解が得られる。

ABSTRACT

In this article we investigate the existence and regularity of 1-d steady state fractional order diffusion equations. Two models are investigated:the Riemann-Liouville fractional diffusion equation, and the Riemann-Liouville-Caputo fractional diffusion equation. For these models we explicitly show how the regularity of the solution depends upon the right hand side (rhs) function. We also establish for which Dirichlet and Neumann boundary conditions the models are well posed.

研究の動機と目的

• 1次元定常分数拡散方程式の解の存在および正則性を、リーマン・リウビルおよびリーマン・リウビル・カプト作用素によって記述する。
• 解の正則性が右辺関数および境界条件の選択にどのように依存するかを特定する。
• 特にディリクレおよびノイマン境界条件の下で、モデルが適切に定式化される条件を確立する。
• 実世界の応用に適した分数拡散モデルの選択に関する物理的および数学的洞察を提供する。

提案手法

• 重み付きL2空間における解構造を解析するため、ジャコビ多項式展開に基づくスペクトル法を用いる。
• リーマン・リウビル・カプト作用素は $\,_{RLC}\mathcal{D}_{r}^{\alpha}u(x) := -D\left(rD^{-(2-\alpha)} + (1-r)D^{-(2-\alpha)*}\right)Du(x) = f(x)$ と定義され、$D$ を微分作用素、$D^{-\beta}, D^{-\beta*}$ を左および右の分数積分と定義する。
• リーマン・リウビル作用素は $\,_{RL}\mathcal{D}_{r}^{\alpha}u(x) := -D^{2}\left(rD^{-(2-\alpha)} + (1-r)D^{-(2-\alpha)*}\right)u(x) = f(x)$ と定義され、微分作用素の配置が異なる。
• 弱解の定式化および正則性解析のために、重み付きソボレフ空間 $H^{\alpha/2}_{0}(0,1)$ および $H^{-\alpha/2}(0,1)$ を用いる。
• ジャコビ多項式の性質およびそのノルム、特にスターリングの公式による漸近的挙動を用いて、主要な推論を得る。
• 係数の減衰および級数の収束に関する補題を用い、適切な関数空間における解項の有界性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン・リウビル・カプトモデルにおいて、1次元分数拡散方程式の解の正則性は右辺関数にどのように依存するか？
• RQ2 リーマン・リウビル・カプト作用素のカーネルの構造は何か？ そして、それは解の正則性にどのように影響するか？
• RQ3 どのディリクレおよびノイマン境界条件の下で、リーマン・リウビルおよびリーマン・リウビル・カプトモデルが適切に定式化されるか？
• RQ4 2つの分数拡散モデルにおけるエネルギーフラックスの物理的解釈は、どのように異なるか？
• RQ5 重み付きソボレフ空間において、解の存在および正則性を保証するための源項に必要な条件は何か？

主な発見

• リーマン・リウビル・カプト作用素のカーネルは代数的に正則であるため、解は右辺関数の正則性を引き継ぐ。
• リーマン・リウビル作用素のカーネルは代数的に特異的であり、滑らかな右辺関数に対しても境界付近で特異的挙動を示す解が得られる。
• $f \in H^{-\alpha/2}(0,1)$ のとき、両モデルにおいてディリクレ条件の下で $H^{\alpha/2}_{0}(0,1)$ 内に弱解が存在する。
• リーマン・リウビルモデルにおけるノイマン条件は、境界条件の種別に依存して不適切に定式化される可能性があり、先行研究で示されている。
• スペクトル法により解係数の収束性および有界性が保証され、スターリングの近似により減衰率が導出される。
• 関数 $f \in L^2_{\rho^{(\beta,\alpha-\beta)}}(I)$ の下で、級数 $\sum_{i=0}^{\infty} \mu_i c_i G_{i+1}^{(\beta-1,\alpha-\beta-1)}(0)$ は収束し、境界条件の整合性が保証される。