[论文解读] Existence, Non-existence, Uniqueness of solutions for semilinear elliptic equations involving measures concentrated on boundary

Huyuan Chen, Hichem Hajaiej|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文通过一种新颖的分布式定义的分数阶法向导数，建立了具有集中在边界上的测度的分数阶椭圆方程的弱解的存在性、非存在性及唯一性。证明了当 $ g $ 为非减函数并满足临界可积性条件时解的唯一性，最优性指数为 $ \frac{N+\alpha}{N-\alpha} $，并利用 Schauder 的不动点定理证明了当 $ \epsilon = -1 $ 时正解的存在性。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study the weak solutions of the fractional elliptic problem \begin{equation}\label{000} \begin{array}{lll} (-Δ)^αu+εg(u)=k\frac{\partial^αν}{\partial \vec{n}^α}\quad &{ m in}\quad\ \ \barΩ,\\[3mm] \phantom{(-Δ)^α+εg(u)} u=0\quad &{ m in}\quad\ \ \barΩ^c, \end{array} \end{equation} where $k>0$, $ε=1$ or $-1$, $(-Δ)^α$ with $α\in(0,1)$ is the fractional Laplacian defined in the principle value sense, $Ω$ is a bounded $C^2$ open set in $R^N$ with $N\ge 2$, $ν$ is a bounded Radon measure supported in $\partialΩ$ and $\frac{\partial^αν}{\partial \vec{n}^α}$ is defined in the distribution sense, i.e. $$ \langle\frac{\partial^αν}{\partial \vec{n}^α},ζ angle=\int_{\partialΩ}\frac{\partial^αζ(x)}{\partial \vec{n}_x^α}dν(x), \qquad \forallζ\in C^α(R^N), $$ here $\vec{n}_x$ denotes the unit inward normal vector at $x\in\partialΩ$.

研究动机与目标

• 解决分数阶拉普拉斯方程在边界测度下经典边值问题的不适定性问题。
• 通过 $ C^\alpha(\mathbb{R}^N) $ 中的测试函数，建立分数阶法向导数 $ \frac{\partial^\alpha \nu}{\partial \vec{n}^\alpha} $ 的新分布框架。
• 在 $ g $ 满足临界可积性条件时，为 $ \epsilon = 1 $ 建立弱解的存在性与唯一性。
• 分析解在边界上狄拉克测度附近的渐近行为，以及当测度强度 $ k \to \infty $ 时的极限行为。
• 在 $ g $ 满足关于 $ g $ 的对偶可积性条件时，利用 Schauder 的不动点定理证明 $ \epsilon = -1 $ 时正弱解的存在性。

提出的方法

• 将分数阶法向导数 $ \frac{\partial^\alpha \nu}{\partial \vec{n}^\alpha} $ 定义为分布：对所有 $ \zeta \in C^\alpha(\mathbb{R}^N) $，有 $ \langle \frac{\partial^\alpha \nu}{\partial \vec{n}^\alpha}, \zeta \rangle = \int_{\partial\Omega} \frac{\partial^\alpha \zeta(x)}{\partial \vec{n}_x^\alpha} d\nu(x) $。
• 通过恒等式 $ \int_\Omega [u(-\Delta)^\alpha \xi + g(u)\xi] dx = k \int_\Omega \frac{\partial^\alpha \xi}{\partial \vec{n}^\alpha} d\nu $ 定义弱解概念，其中 $ \xi \in \mathbb{X}_\alpha $。
• 采用截断与逼近方案：定义 $ g_n(s) = \min(g(s), n) $，并用光滑函数 $ \nu_n $ 逼近测度 $ \nu $。
• 利用格林核与 Schauder 的不动点定理，构造正则化问题的一系列经典解 $ u_n $。
• 通过涉及 $ \omega(\lambda) = \int_{|u_n| > \lambda} \rho^\alpha_{\partial\Omega} dx $ 的精细估计，证明 $ g(u_n) $ 在 $ L^1(\Omega, \rho^{\beta}_{\partial\Omega} dx) $ 中的一致可积性。
• 应用 Vitali 收敛定理并取极限，得到满足原方程在分布意义下的弱解 $ u $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ \epsilon = 1 $ 时，$ g $ 需满足何种条件，分数阶椭圆问题在边界测度下存在唯一弱解？
• RQ2 非线性项 $ g $ 的精确临界指数为何？超过该指数时，弱解不存在，且该指数是否最优？
• RQ3 在边界上狄拉克质量 $ \delta_{x_0} $ 附近，解的渐近行为如何？
• RQ4 当测度强度 $ k \to +\infty $ 时，弱解会发生什么变化？
• RQ5 对于 $ \epsilon = -1 $，能否获得正弱解？在 $ g $ 的何种条件下可以实现？

主要发现

• 当 $ \epsilon = 1 $ 时，若 $ g $ 连续、非减且满足 $ \int_1^\infty (g(s) - g(-s)) s^{-1 - \frac{N+\alpha}{N-\alpha}} ds < \infty $，则存在唯一弱解。
• 临界指数 $ \frac{N+\alpha}{N-\alpha} $ 是最优的：当 $ g(s) = s^{\frac{N+\alpha}{N-\alpha}} $ 时，不存在弱解。
• 在狄拉克质量 $ \delta_{x_0} $ 附近，解表现出由格林核与分数阶法向导数决定的精确渐近行为。
• 当 $ k \to +\infty $ 时，弱解收敛于具有狄拉克质量问题的解，且极限可通过格林核刻画。
• 当 $ \epsilon = -1 $ 时，若 $ g $ 连续且满足 $ \int_1^\infty g(s) s^{-1 - \frac{N+\alpha}{N-\alpha}} ds < \infty $，则存在正弱解，该结果通过 Schauder 的不动点定理证明。
• 逼近解序列 $ \{u_n\} $ 几乎处处收敛且在 $ L^1(\Omega) $ 中收敛，且 $ g(u_n) \to g(u) $ 在 $ L^1(\Omega, \rho^\beta_{\partial\Omega} dx) $ 中收敛，确保极限为弱解。