[論文レビュー] Existence of Doubly-Weighted Pseudo Almost Periodic Solutions to Some Classes of Nonautonomous Differential Equations

Toka Diagana|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2010

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非自己同型抽象微分方程式 $ u'(t) = A(t)u(t) + g(t,u(t)) $ に対して、$ A(t) $ が指数的二分性を示す進化族を生成すること、および $ g $ が二重重み付き擬ほぼ周期的であることの仮定の下で、二重重み付き擬ほぼ周期的解の存在を確立する。主な結果は、$ g $ のリプシッツ定数が小さい場合、一意な二重重み付き擬ほぼ周期的弱解が存在することを示している。

ABSTRACT

The main objective of this paper is twofold. We first show that if the doubly-weighted Bohr spectrum of an almost periodic function exists, then it is either empty or coincides with the Bohr spectrum of that function. Next, we investigate the problem which consists of the existence of doubly-weighted pseudo-almost periodic solutions to some nonautonomous abstract differential equations.

研究の動機と目的

• 非自己同型抽象微分方程式に対する二重重み付き擬ほぼ周期的解の存在を調査すること。
• ほぼ周期的関数に対する二重重み付きボーハースペクトル論を確立し、二重重み付きボーハースペクトルが空集合であるか、あるいは標準的ボーハースペクトルと一致することを示すこと。
• 従来の概念を一般化する新しいクラスである「二重重み付き擬ほぼ周期的関数」を導入することで、重み付き擬ほぼ周期的関数の理論を拡張すること。
• 非線形項および進化族に適切な条件下で、二重重み付き擬ほぼ周期的関数空間内に一意な弱解が存在することを証明すること。
• 二重重み付き擬ほぼ周期的関数空間の平行移動不変性および畳み込み作用素の安定性を示すこと。

提案手法

• Acquistapace-Terreni 条件を用いて、作用素族 $ A(t) $ に付随する一意な進化族 $ \mathcal{U} = \{U(t,s)\}_{t \geq s} $ の存在を保証する。
• 進化族が指数的二分的であると仮定し、射影 $ P(s) $ および $ Q(s) = I - P(s) $ を用いて、解空間を安定部分空間と不安定部分空間に分解する。
• 積分方程式を用いて非線形作用素 $ \mathbb{M} $ を定義する：$ \mathbb{M}u(t) = \int_{-\infty}^{t} U(t,s)P(s)g(s,u(s))ds - \int_{t}^{\infty} U_Q(t,s)Q(s)g(s,u(s))ds $、これは弱解を表す。
• 生成子の分数乗数および指数的減衰を用いた推定を適用し、中間空間 $ \mathbb{X}_\alpha $ における進化作用素のノルムを評価する。
• Lebesgueの収束定理および $ PAP_0(\mathbb{X}, \mu, \nu) $ の平行移動不変性を用いて、解作用素が $ PAP(\mathbb{X}_\alpha, \mu, \nu) $ に倣うことを証明する。
• リプシッツ定数 $ K $ が十分に小さい場合に、作用素 $ \mathbb{M} $ が二重重み付き擬ほぼ周期的関数のバナッハ空間上で収縮写像であることを用いて、固定点法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 あるほぼ周期的関数の二重重み付きボーハースペクトルが、その標準的ボーハースペクトルと一致する条件は何か？
• RQ2 二重重み付き擬ほぼ周期的性質の概念を用いて、非自己同型微分方程式に対する解の存在を確立できるか？
• RQ3 進化族および非線形項 $ g $ にどのような条件を課すと、一意な二重重み付き擬ほぼ周期的弱解が存在するか？
• RQ4 進化族の指数的二分性が重み構造とどのように作用し、解空間における安定性および収束性をもたらすか？
• RQ5 二重重み付き擬ほぼ周期的関数の空間は平行移動に関して不変であり、かつ進化族との畳み込みに関して安定か？

主な発見

• ほぼ周期的関数の二重重み付きボーハースペクトルは、空集合であるか、あるいはその標準的ボーハースペクトルと一致する。これは基本的なスペクトル的性質を確立する。
• 仮定のもとで、二重重み付き擬ほぼ周期的関数空間は平行移動に関して不変であり、かつ進化族との畳み込みに関して閉じている。
• 進化族および非線形項 $ g $ を用いて定義される非線形作用素 $ \mathbb{M} $ は、$ PAP(\mathbb{X}_\alpha, \mu, \nu) $ に倣う。
• 非線形項 $ g $ のリプシッツ定数 $ K $ が $ K < \frac{1}{C(\alpha,\delta)} $ を満たす場合、解作用素 $ \mathbb{M} $ は $ PAP(\mathbb{X}_\alpha, \mu, \nu) $ 上で収縮写像である。ここで $ C(\alpha,\delta) = km(\alpha)\delta^{-1} + kc(\alpha)2^{1-\alpha}\Gamma(1-\alpha)\delta^{\alpha-1} $ である。
• その結果、$ K $ が十分に小さい条件のもとで、式 (1.1) は一意な二重重み付き擬ほぼ周期的弱解を持つことが保証され、指定された関数空間内での解の存在および一意性が確認された。