[논문 리뷰] Existence of limiting distribution for affine processes

Peng Jin, Jonas Kremer외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 13.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 9인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 상태공간 $\mathbb{R}_{\geqslant 0}^{m} \times \mathbb{R}^{n}$ 위의 보존적 아핀 프로세스에 대해 한정분포의 존재를 위한 충분조건을 수립하며, OU형 및 CBI 프로세스에 관한 이전 결과들을 통합하고 확장한다. 상미분방정식의 안정성 이론과 일반화된 리카티 방정식의 분석을 결합하여, 저자들은 과정이 생성자 함수 $F(\psi(s,u))$의 적분의 지수로 나타나는 유일한 정적분포로 법적으로 수렴함을 증명한다. 한정분포가 유일한 정적분포임이 레비의 연속성 정리와 반류성 성질을 통해 입증된다.

ABSTRACT

In this paper, sufficient conditions are given for the existence of limiting distribution of a conservative affine process on the canonical state space $\mathbb{R}_{\geqslant0}^{m} imes\mathbb{R}^{n}$, where $m, hinspace n\in\mathbb{Z}_{\geqslant0}$ with $m+n>0$. Our main theorem extends and unifies some known results for OU-type processes on $\mathbb{R}^{n}$ and one-dimensional CBI processes (with state space $\mathbb{R}_{\geqslant0}$). To prove our result, we combine analytical and probabilistic techniques; in particular, the stability theory for ODEs plays an important role.

연구 동기 및 목표

• OU형 프로세스와 CBI 프로세스에 관한 기존 결과를 각각 $\mathbb{R}^n$ 및 $\mathbb{R}_{\geq 0}$ 위에서 통합하고 일반화하기.
• 상태공간 $\mathbb{R}_{\geq 0}^{m} \times \mathbb{R}^{n}$ 위의 일반적인 보존적 아핀 프로세스에 대해 한정분포의 존재를 위한 충분조건을 수립하기.
• 한정분포를 그 특성함수를 통해 식별하고, 이것이 유일한 정적분포임을 증명하기.
• 이전에 해결되지 않은 경우, 특히 $m \geq 2$ 또는 $m \geq 1, n \geq 1$ 인 경우에 대한 결과를 확장하기.

제안 방법

• 아핀 프로세스의 특성함수를 지배하는 일반화된 리카티 방정식을 활용하며, 특히 $\phi(t,u)$와 $\psi(t,u)$를 분석한다.
• 주어진 조건 하에서 $\psi(t,u)$가 $t \to \infty$일 때 지수적으로 빠르게 0으로 수렴함을 보이기 위해 상미분방정식의 안정성 이론을 적용한다.
• 정의역의 컴act 부분집합에서 균등수렴을 고려하여 한정특성함수의 연속성을 보장한다.
• $\psi(t,u)$의 반류성 성질을 활용하여 특성함수의 시간에 따른 진화를 $F(\psi(s,u))$의 적분과 연결한다.
• 레비의 연속성 정리를 적용하여 $X_t$가 특성함수 $\exp\left\{\int_0^\infty F(\psi(s,u))\,ds\right\}$를 갖는 한정분포 $\pi$로 약한 수렴함을 확립한다.
• 반증을 통해 정적분포의 유일성을 증명하며, $\psi(t,u)$와 $\phi(t,u)$가 무한한 시간 한계로 수렴함을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 보존적 아핀 프로세스가 $\mathbb{R}_{\geq 0}^{m} \times \mathbb{R}^{n}$ 위에서 $t \to \infty$일 때 법적으로 한정분포로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 한정분포는 생성자 함수 $F$의 관점에서 특성함수를 통해 명시적으로 기술할 수 있는가?
• RQ3 이러한 아핀 프로세스에 대해 한정분포는 유일한 정적분포인가?
• RQ4 이전에 해결되지 않은 경우, 즉 $m \geq 2$ 또는 $m \geq 1, n \geq 1$ 인 경우에 결과는 어떻게 확장되는가?
• RQ5 $\psi(t,u)$의 지수적 감쇠는 수렴성과 정적성 보장에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 한정분포 $\pi$는 특성함수 $\int_D e^{\langle u,x \rangle} \pi(dx) = \exp\left\{\int_0^\infty F(\psi(s,u))\,ds\right\}$로 존재하며 기술된다.
• 과정 $X_t$는 $t \to \infty$일 때 $\pi$로 법적으로 수렴하며, $\psi(t,u)$의 지수적 감쇠로 인해 수렴 속도가 지수적으로 빠르다.
• 한정분포 $\pi$는 아핀 프로세스 $X_t$의 유일한 정적분포이다.
• $\psi(t,u)$가 0으로 수렴하고 $\phi(t,u)$가 $\int_0^\infty F(\psi(s,u))\,ds$로 수렴하는 것은 정의역의 컴act 부분집합에서 균등수렴하며, 이는 한정특성함수의 연속성을 보장한다.
• 수렴을 보장하기 위해 $\psi(t,u)$를 지배하는 상미분방정식 시스템의 안정성이 증명의 핵심이다.
• 이 결과는 OU형 프로세스와 일차원 CBI 프로세스에 관한 이전의 발견들을 일반화하고 통합하며, 양의 성분과 실수 성분이 혼합된 고차원 상태공간으로 확장한다.