[论文解读] Existence of mild solutions to Hilfer fractional evolution equations in Banach space

J. Vanterler da C. Sousa|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2018

Nonlinear Differential Equations Analysis被引用 5

一句话总结

本论文通过使用等度连续的 $C_0$-半群与 Kuratowski 非紧性测度，建立了巴拿赫空间中具有非瞬时脉冲的 Hilfer 分数阶演化方程的温和解的存在性。在非线性项与脉冲函数满足适当的 Lipschitz 条件与紧性假设下，通过在集合压缩条件下应用不动点理论，证明了至少存在一个 ${\mathbf{PC}}_{1-\gamma}$-温和解。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the existence of mild solutions to Hilfer fractional equation of semi-linear evolution with non-instantaneous impulses, using the concepts of equicontinuous $C_{0}$-semigroup and Kuratowski measure of non-compactness in Banach space $Ω$.

研究动机与目标

• 研究巴拿赫空间中一类新型半线性 Hilfer 分数阶演化方程在具有非瞬时脉冲条件下的温和解存在性。
• 通过引入 Hilfer 导数与非瞬时脉冲，拓展现有分数阶微分方程的研究结果。
• 利用 Kuratowski 非紧性测度与等度连续半群，在较弱的紧性假设下建立解的存在性。
• 为具有记忆效应与突变状态变化的复杂动力系统建模提供理论基础。

提出的方法

• 通过涉及 Hilfer 分数阶导数与 $C_0$-半群无穷小生成元的积分公式定义温和解的概念。
• 利用 Kuratowski 非紧性测度分析 ${\mathbf{PC}}_{1-\gamma}$ 空间中解集的相对紧性。
• 通过 $k$-集压缩算子应用 Sadovskii 不动点定理，证明在闭、有界、凸子集中存在不动点。
• 将解算子分解为两部分：一部分涉及半群，另一部分涉及非线性项与脉冲项。
• 利用 Lebesgue 控制收敛定理与半群的性质，建立解算子的等度连续性。
• 对非线性函数 $f$ 与脉冲函数 $\zeta_k$ 强制施加 Lipschitz 型条件，以确保算子定义良好且具有压缩性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在巴拿赫空间中，具有非瞬时脉冲的 Hilfer 分数阶演化方程在何种条件下存在温和解？
• RQ2 Kuratowski 非紧性测度如何在不需完全紧性的前提下用于证明解的存在性？
• RQ3 $C_0$-半群的等度连续性在确保解算子行为良好方面起到何种作用？
• RQ4 能否在弱于先前分数阶演化方程研究工作中的假设下，建立温和解的存在性？
• RQ5 解算子在空间 ${\mathbf{PC}}_{1-\gamma}$ 中为 $k$-集压缩的必要与充分条件是什么？

主要发现

• 证明了解算子 $\mathfrak{F}$ 为 $k$-集压缩，其中 $k = \mathbf{M}(\mathbf{K} + 4\mathbf{L})$，从而确保不动点的存在性。
• 温和解存在于空间 ${\mathbf{PC}}_{1-\gamma}$ 中，该空间适用于分数阶参数 $\gamma = \alpha + \beta(1 - \alpha)$。
• 表示积分项的算子 $\mathfrak{F}_2$ 是等度连续的，这对应用不动点定理至关重要。
• 在 $\mathfrak{F}$ 下任意有界集的像的非紧性测度被原集合的非紧性测度的倍数所控制，证实了其压缩性质。
• 在 $f$ 与 $\zeta_k$ 满足 Lipschitz 条件且半群具有等度连续性时，该存在性结果成立。
• 证明依赖于 Lebesgue 控制收敛定理，以合理化在等度连续性与非紧性估计中极限的传递。