[論文レビュー] Existence of Positive Solutions for Non Local p-Laplacian Thermistor Problems on Time Scales

Moulay Rchid Sidi Ammi, Delfim F. M. Torres|ArXiv.org|Sep 4, 2007

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時刻スケール上での非局所的p-ラプラシアン境界値問題としてモデル化されたサーミスタのダイナミクスに対して、正の解の存在を確立する。Guo-Krasnoselskiiの固定点定理（錐上）を用いて、非線形関数fおよびパラメータλ、β、p、kが適切な条件下にあれば、少なくとも1つの正の解が存在することを証明しており、時刻スケール微積分法を用いて、混合微分-差分方程式への結果の拡張を実現している。

ABSTRACT

We make use of the Guo-Krasnoselskii fixed point theorem on cones to prove existence of positive solutions to a non local p-Laplacian boundary value problem on time scales arising in many applications.

研究の動機と目的

• 時刻スケール上での非局所的p-ラプラシアン動的方程式がサーミスタ応用に由来する正の解の存在を確立すること。
• 微分方程式および差分方程式の結果を統一・拡張するために、時刻スケールの一般枠組みにおいて問題を定式化すること。
• p-ラプラシアン問題に関する時刻スケール上での結果の不足を補うために、固定点理論を用いた存在条件を提示すること。
• 物理的モデル（例：サーミスタやシアー・バンドイング）に関連するパラメータp、k、λ、βの変動に対する解の挙動を分析すること。
• 非標準的な動的設定（非局所項およびp-ラプラシアン作用素を含む）において、Guo-Krasnoselskii定理の適用可能性を示すこと。

提案手法

• 時刻スケールT上での非局所的p-ラプラシアン動的方程式として問題を定式化し、転送係数β ∈ (0,1) を含む境界条件を設定する。
• 境界値問題から導かれる積分作用素に、錐上のGuo-Krasnoselskii固定点定理を適用する。
• 正の解を保証するため、連続関数のバナッハ空間に錐Kを定義する。
• 元の動的問題の解に対応する固定点を生成するように、積分作用素Gを構成する。
• 1/p + 1/q = 1 を満たすp-ラプラシアン作用素φp(s) = |s|^{p-2}s 及びその逆作用素φq の性質を用いて、問題を固定点枠組みに変換する。
• σおよびρを前向・後退ジャンプ作用素として用い、時刻スケール上のデルタおよびナブラ積分を用いて、連続的および離散的両ケースを一様に取り扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的p-ラプラシアン動的方程式が時刻スケール上に少なくとも1つの正の解をもつための条件は何か？
• RQ2 パラメータλ（印加電位）、β（転送係数）、p（ラプラシアンの指数）、k（非局所的指数）が正の解の存在にどのように影響するか？
• RQ3 非局所項およびp-ラプラシアン構造を有する時刻スケール境界値問題に対して、Guo-Krasnoselskii固定点定理を効果的に適用できるか？
• RQ4 非線形関数f(u)にどのような十分条件を課すと、この一般化された動的設定において正の解の存在が保証されるか？
• RQ5 時刻スケールフレームワークは、サーミスタ応用における微分方程式および差分方程式モデルの結果をどのように統一するか？

主な発見

• Corollary 4.1で示されるように、f₀ = 0 かつ f∞ = ∞、または f₀ = ∞ かつ f∞ = 0 を満たす場合、問題(1.1)–(1.2)は少なくとも1つの正の解をもつ。
• f(s) = 1/(1+s)^k（k ≥ 2、p = 2）であるNTCサーミスタモデルにおいて、f₀ = ∞ かつ f∞ = 0 であるため、少なくとも1つの正の解が存在する。
• パrameter λがλ* によって上界で制限され、a / (A₁T(2−β)/(1−β)) ≥ φq(λ*) を満たす場合、固定点定理におけるノルム条件が保証され、存在結果が成立する。
• 証明により、適切に選ばれたaおよびbに対して、∂Ωa 上で‖Gu‖ ≤ ‖u‖ かつ ∂Ωb 上で‖Gu‖ ≥ ‖u‖ が成り立つことが示され、Guo-Krasnoselskii定理の条件を満たす。
• 解は境界条件 φp(uΔ(0)) − βφp(uΔ(η)) = 0 および u(T) − βu(η) = 0 を満たし、物理的整合性が保証される。
• 時刻スケール微積分法の統一的枠組みのおかげで、この手法はℝ（微分方程式）およびℤ（差分方程式）の両方のケースにわたり頑健に機能する。