[論文レビュー] Existence of solutions for fractional p-Kirchhoff type equations with a generalized Choquard nonlinearities

Wenjing Chen|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、アムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件を要請しない、$\mathbb{R}^N$ 上の一般化されたチョウカルド非線形性を有する分数階 $p$-キルヒホッフ型方程式に対して、非自明な弱解の存在を確立する。変分法と臨界点理論を用いて、非線形性の一般な成長条件および退化するキルヒホッフ関数のもとで、任意の $\lambda > 0$ に対して少なくとも1つの非自明な解の存在を証明する。

ABSTRACT

In this article, we establish the existence of solutions to the fractional $p-$Kirchhoff type equations with a generalized Choquard nonlinearities without assuming the Ambrosetti-Rabinowitz condition.

研究の動機と目的

• 分数階 $p$-キルヒホッフ方程式の一般化されたチョウカルド型非線形性を有するクラスに対して、$\mathbb{R}^N$ 上での非自明な弱解の存在を確立すること。
• このような問題に対して変分法が用いられる際の標準的仮定であるアムブロセッティ＝ラビノヴィッツ（AR）条件を排除すること。
• キルヒホッフ関数 $M$ およびポテンシャル $V(x)$ に対して一般な仮定を適用し、特に $0$ における退化の可能性を含むこと。
• 非局所的相互作用を有するより広範なクラスの非局所方程式へ、変分的技法の適用範囲を拡張すること。
• チョウカルド項 $\mathcal{I}_\mu * F(u)$ を用いて、臨界的または亜臨界的成長を有する非有界領域における解を研究するための枠組みを提供すること。

提案手法

• エネルギー汎関数 $\mathcal{J}_\lambda$ に関連する分数階 $p$-キルヒホッフ方程式の臨界点問題として問題を定式化する。
• 山脈定理およびエケランの変分原理を用いて、汎関数の臨界点を特定する。
• ネハリ多様体のアプローチを用いて、汎関数の下界を特徴付け、最小化列の挙動を制御する。
• パライス＝スメイル系列の強収束を示すために、シモンの不等式を用いて分数階 $p$-ラプラシアンの非線形性を扱う。
• 重み付きルベーグ空間およびソボレフ空間におけるコンcentration-compactness原理と弱収束の議論を用いて、コンパクト性を確立する。
• 非局所項 $\mathcal{I}_\mu * F(u)$ の制御のため、ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフの不等式を適用し、関連する関数空間内での有界性と連続性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件を仮定しないで、分数階 $p$-キルヒホッフ方程式にチョウカルド非線形性を有する非自明な解の存在を確立できるか？
• RQ2 キルヒホッフ関数 $M$、ポテンシャル $V(x)$、非線形項 $f(u)$ にどのような条件を課せば、$\mathbb{R}^N$ 上での弱解の存在が保証されるか？
• RQ3 $M$ が $0$ で退化する場合、解の存在性および正則性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 リーマン・ポテンシャル $\mathcal{I}_\mu$ は非局所項の構造および埋め込みのコンパクト性にどのような役割を果たすか？
• RQ5 非線形項が非斉次的かつ非標準的である場合、非有界領域におけるコンパクト埋め込みの欠如に対応して、変分法をどのように適合できるか？

主な発見

• 本稿では、適切な仮定のもとで、任意の $\lambda > 0$ に対して、一般化されたチョウカルド非線形性を有する分数階 $p$-キルヒホッフ方程式に対して、少なくとも1つの非自明な弱解の存在を証明する。
• キルヒホッフ関数 $M$ が $0$ で退化する場合、すなわち $M(0) = 0$ の場合でも解が存在することを示し、以前の $M(t) \geq m_0 > 0$ を要請する結果を拡張する。
• アムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件は必要とせず、臨界的または亜臨界的成長を有するより一般な非線形項 $f(u)$ を許容する。
• シモンの不等式および一様可積分性の議論を用いて、重み付きソボレフ空間 $W$ 内でのパライス＝スメイル系列の強収束を確立する。
• 非局所項 $\mathcal{I}_\mu * F(u)$ はハーディー＝リトルウッド＝ソボレフの不等式を用いて取り扱われ、双対空間内での非線形項の有界性を保証する。
• 証明は、埋め込み $W \hookrightarrow L^p_V(\mathbb{R}^N)$ のコンパクト性およびノルムの弱下半連続性に依拠しており、これらが併せて最小化子の存在を保証する。