[論文レビュー] Existence of solutions for singular double phase problems via the Nehari manifold method

Wulong Liu, Guowei Dai+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2021

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特異項 $u^{-\ho}$ とパrametric項 $\lambda u^{r-1}$ を含む特異な二重位相楕円型問題に対して、Musielak-Orlicz-Sobolev 空間における Nehari 多様体法を用いて、少なくとも2つの弱解の存在を確立する。$\lambda > 0$ が十分に小さい場合、1つの解は負のエネルギーを持ち、もう1つの解は正のエネルギーを持つことが示され、ファイバー法と Nehari 多様体上の制約付き最小化によって証明される。

ABSTRACT

In this paper we study quasilinear elliptic equations driven by the double phase operator and a right-hand side which has the combined effect of a singular and of a parametric term. Based on the fibering method by using the Nehari manifold we are going to prove the existence of at least two weak solutions for such problems when the parameter is sufficiently small.

研究の動機と目的

• 二重位相作用素に起因する特異的・パrametric非線形項を有する擬線形楕円型問題に対する複数の弱解の存在を確立すること。
• 特異項のためエネルギー汎関数が $C^1$ でないという点を考慮し、Musielak-Orlicz-Sobolev 空間における特異的二重位相問題に Nehari 多様体法を拡張すること。
• 非滑らかエネルギー汎関数の課題に対処するため、特異性と二重位相作用素の非バランスな成長を扱えるように Nehari 多様体アプローチを修正すること。
• パrameter値 $\lambda \in (0, \hat{\lambda}_0^*]$ が十分に小さい場合、少なくとも2つの異なる弱解（1つは負のエネルギー、もう1つは正のエネルギー）の存在を証明すること。

提案手法

• エネルギー汎関数 $\varphi_\lambda$ の臨界点を特定するため、Nehari 多様体 $\mathcal{N}_\lambda$ を通じたファイバー法を用いる。
• Nehari 多様体を $\mathcal{N}_\lambda = \{ u \in W^{1,\mathcal{H}}_0(\Omega) \setminus \{0\} : \langle \varphi_\lambda'(u), u \rangle = 0 \}$ として定義し、非自明解の探索に自然な制約として機能させる。
• ファイバー関数の2階微分に基づく分解 $\mathcal{N}_\lambda = \mathcal{N}_\lambda^+ \cup \mathcal{N}_\lambda^-$ を導入し、エネルギー行動が異なる解を分離する。
• $\mathcal{N}_\lambda^-$ 上での制約付き最小化を適用し、正のエネルギーを持つ第2の解を取得する。下付き連続性と弱収束の議論を用いる。
• $\mathcal{N}_\lambda^-$ 内の最小化列 $\{v_n\}$ が弱収束して最小化子 $v^*$ に収束することを確立し、弱下付き連続性とファイバー条件における厳密不等式を用いて $v^*$ が弱解であることを示す。
• 矛盾による証明により、$v^*$ が $\Omega$ ほぼ everywhere で正であることを証明する。$v^*=0$ である正の測度の集合上に仮定すると、エネルギー差分商が $-\infty$ に発散し、$m_\lambda^-$ の最小性と矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー汎関数が $u^{-\gamma}$ 項のため $C^1$ でない特異的二重位相問題に対して、Nehari 多様体法をどのように適応可能にすることができるか？
• RQ2 非バランスな成長を示す二重位相作用素と特異的非線形項を有する問題が、パrameter値 $\lambda$ が小さい場合に少なくとも2つの弱解を持つのか？
• RQ3 2つの解のエネルギー行動は何か？Nehari 多様体上で負のエネルギーを持つ解と正のエネルギーを持つ解をそれぞれ特定できるか？
• RQ4 ファイバー法（Nehari 多様体に基づく）は、標準的 Sobolev 空間ではなく Musielak-Orlicz-Sobolev 空間において、複数解の存在をどのように保証するのか？
• RQ5 特異項が存在するにもかかわらず、第2の解が $\Omega$ ほぼ everywhere で正であることを証明することは可能か？

主な発見

• ある $\hat{\lambda}_0^* > 0$ が存在し、任意の $\lambda \in (0, \hat{\lambda}_0^*]$ に対して、問題 (1.3) は少なくとも2つの弱解 $u^*, v^* \in W^{1,\mathcal{H}}_0(\Omega)$ を持つ。
• 1つの解 $u^*$ は $\varphi_\lambda(u^*) < 0$ を満たし、$\mathcal{N}_\lambda^+$ 上での最小化によって得られ、$\Omega$ ほぼ everywhere で正である。
• 第2の解 $v^*$ は $\varphi_\lambda(v^*) > 0$ を満たし、$\mathcal{N}_\lambda^-$ 上での最小化によって得られ、$\Omega$ ほぼ everywhere で正である。
• Nehari 多様体の分解 $\mathcal{N}_\lambda = \mathcal{N}_\lambda^+ \cup \mathcal{N}_\lambda^-$ は、異なるエネルギー水準の解を区別するために不可欠である。
• 証明は厳密不等式 $ (p+\gamma-1)\|\nabla v^*\|_p^p + (q+\gamma-1)\|\nabla v^*\|_{q,\mu}^q - \lambda(r+\gamma-1)\|v^*\|_r^r < 0 $ に依存しており、これは等号を排除し、$v^* \in \mathcal{N}_\lambda^-$ を保証する。
• 解 $v^*$ の正の性質は、矛盾による証明により確立される。$v^*=0$ である正の測度の集合上に仮定すると、エネルギー差分商が $-\infty$ に発散し、$m_\lambda^-$ の最小性と矛盾する。