[論文レビュー] Existence of solutions to fractional differential equations with three-point boundary conditions at resonance with general conditions

Bin‐Bin He|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2017

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、従来の研究で用いられていた制限的な作用素条件 $A^2 \tilde{\theta}^{2\tilde{\theta}-2} = A\tilde{\theta}^{\tilde{\theta}-1}$ および $A^2 \tilde{\theta}^{2\tilde{\theta}-2} = I$ を必要とせずに、ヒルバート空間における分数階三重境界値問題の解の存在を確立する。一般化逆作用素と一致度理論を用いることで、任意の有限次元核をもつ無限次元空間へと既存の結果を拡張し、少なくとも一つの解が存在することを証明する。

ABSTRACT

This paper presents a new technique to investigate the existence of solutions to fractional three-point boundary value problems at resonance in a Hilbert space. Based on the proposed method, the restricted conditions $A^2ξ^{2α-2}=Aξ^{α-1}$ and $A^2ξ^{2α-2}=I$ on the operator $A$, which have been used in \cite{Zhou2}, are removed. It is shown that the system under consideration admits at least one solution by applying coincidence degree theory. Finally, an illustrative example is presented.

研究の動機と目的

• 核の次元が任意である場合の無限次元空間における分数階三重境界値問題の解の存在に関する結果のギャップを埋める。
• 先行研究で用いられていた作用素 $A$ に対する制限的な仮定 $A^2 \tilde{\theta}^{2\tilde{\theta}-2} = A\tilde{\theta}^{\tilde{\theta}-1}$ および $A^2 \tilde{\theta}^{2\tilde{\theta}-2} = I$ を除去する。
• 一致度理論の適用範囲を $l^2$ における任意の有限次元核をもつ分数階微分方程式の三重境界条件における共振問題へ拡張する。
• 分数階および古典的第二階微分系の両方に適用可能な一般化された枠組みを提供する。

提案手法

• 無限次元空間における有界線形作用素の一般化逆作用素を用いて、必要な射影作用素を構成する。
• ミャウインの一致度理論を適用し、共振の文脈における解の存在を分析する。
• モア・ペンローズの一般化逆作用素を用いて、射影作用素 $Q$ を新たに定義し、射影性や恒等性の条件に依存しない。
• 作用素 $\mathcal{M}$ に対して $\mathcal{M}^{+}\mathcal{M} = I - \mathcal{M}\mathcal{M}^{+}$ の性質を用いて空間を分解し、射影作用素 $Q$ を定義する。
• 特に、ネミツキイ作用素のコンパクト性と作用素 $L$ のフレドホルム性を確認することで、一致度定理の条件を満たすことで解の存在を確立する。
• ベクトル $e = (0,0,\sigma_1,0,0,\sigma_2,\dots)^T$ を用いて、内積 $\langle e, QN(e t^{1/2}) \rangle > 0$ による解の非退化性をテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階三重境界値問題の解の存在を、$A^2 \tilde{\theta}^{2\tilde{\theta}-2} = A\tilde{\theta}^{\tilde{\theta}-1}$ や $A^2 \tilde{\theta}^{2\tilde{\theta}-2} = I$ を仮定せずに確立できるか？
• RQ2 一致度理論は、任意の有限次元核をもつ $l^2$ における共振問題を扱うためにどのように適合可能か？
• RQ3 有界線形作用素の一般化逆作用素は、射影作用素 $Q$ を構成する際の射影的または恒等的条件の必要性を置き換えることができるか？
• RQ4 核の次元が 1 や 2 に制限されない場合、少なくとも一つの解が存在するための条件は何か？

主な発見

• 本稿は、$l^2$ における分数階三重境界値問題の解の存在を、制限的な条件 $A^2 \tilde{\theta}^{2\tilde{\theta}-2} = A\tilde{\theta}^{\tilde{\theta}-1}$ や $A^2 \tilde{\theta}^{2\tilde{\theta}-2} = I$ を必要とせずに証明する。
• 例として $\alpha = 1/2$, $\xi = 1/4$, $A$ を行列 $B$ で定義した場合、条件 (A1) および (A2) を満たさないことが確認され、新手法の一般性が裏付けられる。
• 内積 $\langle e, QN(et^{1/2}) \rangle > 0$ は厳密に正であり、一致度定理における解の存在条件が満たされていることが確認される。
• 核の次元が 1 や 2 に限られず、任意の正の整数であっても解が存在することが示される。
• 従来の $\mathbb{R}^n$ における第二階微分系の存在定理は、分数階および無限次元設定へと一般化される。
• 本手法は、$D_{0^{+}}^{\tilde{\theta}}x(t) = f(t,x(t),D_{0^{+}}^{\tilde{\theta}-1}x(t))$ で $x(0) = \theta$, $D_{0^{+}}^{\tilde{\theta}-1}x(1) = A D_{0^{\tilde{\theta}-1}}x(\xi)$ を満たす他の共振問題へも応用可能である。