[論文レビュー] Existence of weak solutions for Cahn-Hilliard systems coupled with elasticity and damage

Christian Heinemann, Christiane Kraus|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2015

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 16被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、相分離、粗大化、および微小き裂形成をモデル化する、弾性および速度依存損傷と結合されたカーン＝ヒリャール系に対する弱解の存在を確立する。モデルは、一方向性でしきい値依存の包含を介して進化する局所的損傷変数を組み込み、エネルギー解を用いた変分枠組みにおいて、近似、コンパクト性、単調性の議論により解の存在が証明される。

ABSTRACT

A typical phase field approach for describing phase separation and coarsening phenomena in alloys is the Cahn-Hilliard model. This model has been generalized to the so-called Cahn-Larché system by combining it with elasticity to capture non-neglecting deformation phenomena, which occur during phase separation and coarsening processes in the material. In order to account for damage effects, we extend the existing framework of Cahn-Hilliard and Cahn-Larché systems by incorporating an internal damage variable of local character. This damage variable allows to model the effect that damage of a material point is influenced by its local surrounding. The damage process is described by a unidirectional rate-dependent evolution inclusion for the internal variable. For the introduced Cahn-Larché systems coupled with rate-dependent damage processes, we establish a suitable notion of weak solutions and prove existence of weak solutions.

研究の動機と目的

• 微電子はんだ接合部を含む材料における相分離、粗大化、損傷を統合的に記述する数学的モデルの構築を目的とする。
• 周囲の材料状態に影響を受ける局所的損傷進化を組み込むことで、実際の微細組織挙動を反映する。
• カーン＝ラーシェ系を拡張し、損傷開始のしきい値を有する速度依存的で一方向性の損傷過程を含める。
• エネルギー的構造を有する二重非線形、放物型・楕円型系における弱解の厳密な存在理論を確立する。
• 熱機械的応力下における機能材料の長期的劣化をモデル化する基盤を提供する。

提案手法

• 偏微分方程式系を定式化する：相分率を記述するカーン＝ヒリャール型方程式、変位を記述する弾性方程式、損傷変数の速度依存的進化包含式。
• 損傷変数 z ∈ [0,1] を導入し、一方向性に進化させ、局所的な応力および相組成に依存する。
• 弾性エネルギー、化学的エネルギー、損傷エネルギーを含むエネルギー汎関数に基づく変分的定式化を採用する。
• 時間離散化スキームとして陰的エイラー積分法を用い、二重非線形項を扱うために微小パラメータ ε を用いた正則化を行う。
• コンパクト性、弱下半連続性、および部分微分作用素の単調性を用いて、近似解の収束を証明する。
• 事前推定および弱収束の議論を用いて正則化された系において極限に移行し、弱解が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的相互作用を有する弾性材料における相分離、粗大化、損傷を統合的に記述する数学的モデルを構築可能か？
• RQ2 速度依存的で一方向性の損傷進化を、カーン＝ヒリャール方程式および弾性方程式と厳密に結合できるか？
• RQ3 エネルギー的構造を有するこのような複雑な二重非線形系における弱解の存在状態はいかなるものか？
• RQ4 損傷のしきい値の組み込みが、数学的解析および解の挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ5 極限系は、損傷進化におけるエネルギー散逸および不可逆性の物理的整合性を保っているか？

主な発見

• 本稿では、弾性および速度依存損傷と結合されたカーン＝ヒリャール系に対する弱解の存在が証明され、従来の結果に局所的損傷効果を拡張した。
• 損傷進化は、損傷開始のしきい値を含む二重非線形で一方向性の包含式によりモデル化され、物理的観察と整合的である。
• コンパクト性および弱下半連続性を用いて正則化近似の収束が確立され、極限が弱形式を満たすことが保証される。
• 極限系はエネルギー散逸構造を保ち、不可逆的損傷および拡散のため、全エネルギーが時間とともに減少する。
• 解析により、損傷変数 z が [0,1] の範囲に保たれ、回復を防ぐように進化することが確認され、実材料挙動を反映している。
• 本手法は、濃度依存の移動度および界面エネルギーを扱えるため、実際の合金に適用可能である。