[論文レビュー] Existence of weak solutions for compressible Navier-Stokes equations with entropy transport

David Maltese, Martin Michálek+4 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 15被引用数 30

ひとこと要約

本稿では、エネルギー方程式ではなく輸送方程式に従って進化する可変エントロピーを伴う圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、グローバルな弱解の存在を確立する。三重の定式化—エントロピー輸送、正準化輸送、圧力パラメータの進化—を用い、初期データに最小限の仮定の下で、可縮性の指数 $γ > 1$ の最適範囲において、コンパクト性と正準化技術を活用して解の存在を証明する。

ABSTRACT

We consider the compressible Navier-Stokes system with variable entropy. The pressure is a nonlinear function of the density and the entropy/potential temperature which, unlike in the Navier-Stokes-Fourier system, satisfies only the transport equation. We provide existence results within three alternative weak formulations of the corresponding classical problem. Our constructions hold for the optimal range of the adiabatic coefficients from the point of view of the nowadays existence theory.

研究の動機と目的

• 可変エントロピーが輸送方程式に従って支配される圧縮性ナビエ＝ストークス系に対する、時刻全域にわたる弱解の存在を確立すること。
• 解の概念とその相関関係を明確化するために、三つの同等な弱定式化—エントロピー輸送、正準化輸送、圧力パラメータの進化—を分析すること。
• ディペルナ＝ロインズの正準化技術を、可変エントロピーと最適な $\gamma$-範囲を有する系へと拡張すること。
• 真空中の形成と密度の非一様可積分性の課題を、圧力パラメータ定式化と安定性解析を用いて克服すること。

提案手法

• 圧力 $p = \varrho^\gamma \mathcal{T}(s)$ を用いて系を定式化し、ここで $\mathcal{T}(s)$ は滑らかで正の関数であり、エントロピー $s$ は輸送方程式に従って進化する。
• 圧力パラメータ $Z = \varrho [\mathcal{T}(s)]^{1/\gamma}$ を導入し、$Z$ を用いて系を再定式化することで、エントロピーの進化と密度の分離を実現する。
• 圧力則における $\delta$-摂動を用いた粘性正則化により近似解を構成する：$p_\delta = (\varrho \theta_\delta)^\gamma + \delta (\varrho \theta_\delta)^\beta$（$\beta > \max\{\gamma, 4\}$）。
• ディペルナ＝ロインズの正準化技術を $\theta_\delta = Z_\delta / \varrho_\delta$ の輸送方程式に適用し、エントロピー関連量の安定性を保証する。
• Div-Curl補題と $L^2$ における弱コンパクト性を用い、$\delta \to 0^+$ の極限に移行し、元の系における弱解を回復する。
• 強収束 $Z_\delta$ を $L^q$（$q < \gamma + \theta$）で確立し、運動量方程式と連続の方程式における極限の移行を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エントロピーがエネルギー方程式ではなく輸送方程式に従って進化する圧縮性ナビエ＝ストークス系に対して、弱解が存在しうるか？
• RQ2 このエントロピー輸送モデル下で、グローバルな弱解が存在するための最適なアディアバティック指数 $\gamma$ の範囲は何か？
• RQ3 エントロピー輸送、正準化輸送、圧力パラメータの進化という三つの異なる弱定式化は、解の存在性および正則性の観点からどのように関連しているか？
• RQ4 ディペルナ＝ロインズの正準化法は、可変エントロピーおよび非一様密度可積分性を有する系へと適応可能か？
• RQ5 真空中が出現する可能性がある状況下で、粘性近似における極限移行を実現するために必要なコンパクト性および安定性技法は何か？

主な発見

• 圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、エントロピーが輸送方程式に従う場合、すべての $\gamma > 1$ に対して、時刻全域にわたる弱解が存在する。これは現在の存在理論における最適範囲である。
• 解は圧力則における $\delta$-正則化を伴う粘性近似により構成され、$\varrho_\delta$ と $Z_\delta$ に対して一様なバウンディングが保証される。
• $Z_\delta$ の $L^q$（$q < \gamma + \theta$）における強収束が確立され、非線形圧力項 $Z^\gamma$ の極限移行が可能になる。
• 弱極限 $\zeta = \theta^{-1}$ は $L^\infty$ で有界であり、ペair $(\zeta, \bm{u})$ は弱および正準化の意味で輸送方程式 $\partial_t \zeta + \bm{u} \cdot \nabla \zeta = 0$ を満たす。
• 極限解は連続の方程式 $\partial_t \varrho + \operatorname{div}(\varrho \bm{u}) = 0$ と、圧力 $p = \varrho^\gamma \mathcal{T}(s)$ を用いた運動量方程式を分布の意味で満たす。
• フェアレルストロイと[11]の安定性結果が拡張され、近似解の収束を証明するために適用され、エントロピー輸送定式化における系の存在証明が完了する。