[논문 리뷰] Exit problems for general draw-down times of spectrally negative Lévy processes

Bo Li, Nhat Linh Vu외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 23.

Probability and Risk Models참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 스펙트르ально 음성 레비 과정에서 일반적인 드로우다운 시간을 고려한 출구 문제에 대해 동적으로 달라지는 러닝 최대값에 따라 변하는 드로우다운 수준을 가진 연합 라플라스 변환을 수립한다. 산출 이론과 척도 함수를 활용하여 이러한 드로우다운 시간과 관련된 도달 시간, 기어이어 시간, 잠재 측도의 라플라스 변환에 대해 명시적인 표현을 도출하며, 기존 결과를 더 넓은 범위의 동적 출구 수준으로 확장한다.

ABSTRACT

For spectrally negative Lévy processes, we prove several fluctuation results involving a general draw-down time, which is a downward exit time from a dynamic level that depends on the running maximum of the process. In particular, we find expressions of the Laplace transforms for the two-sided exit problems involving the draw-down time. We also find the Laplace transforms for the hitting time and creeping time over the running-maximum related draw-down level, respectively, and obtain an expression for a draw-down associated potential measure. The results are expressed in terms of scale functions for the spectrally negative Lévy processes.

연구 동기 및 목표

• 스펙트르ально 음성 레비 과정에 대한 출구 문제 결과를 고정 수준의 드로우다운을 넘어서 러닝 최대값에 따라 동적으로 변하는 드로우다운 수준으로 일반화하기 위해.
• 변동 수준이 시간에 따라 변화하는 드로우다운 수준을 포함한 연합 라플라스 변환에 대한 명시적 표현이 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 척도 함수를 통해 히팅 시간, 기어이어 시간, 잠재 측도에 대한 기존 결과를 일반 드로우다운 함수로 확장하기 위해.
• 산출 이론과 경로 분해 기법을 활용하여 이전의 드로우다운 시간 관련 연구 결과를 통합하고 일반화하기 위해.

제안 방법

• 산출 이론을 적용하여 스펙트르ально 음성 레비 과정이 동적 드로우다운 시간에서 나타내는 변동 행동을 분석한다.
• 척도 함수 $ W^{(q)} $ 와 $ Z^{(q)} $ 를 사용하여 도착 시간과 상태의 연합 라플라스 변환을 표현한다.
• 시간에 따라 변하는 수준 아래에서 산출의 통합을 통해 드로우다운 시간의 라플라스 변환을 도출한다.
• 보상 공식과 준좌측 연속성을 활용하여 드로우다운 경계에서의 점프 도착을 다룬다.
• 기어이어 시간과 히팅 시간을 특성화하기 위해 척도 함수의 도함수를 포함하는 항등식을 수립한다.
• 선형 드로우다운 함수를 특수한 경우로 고려하여 기존에 알려진 결과를 복원하고 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 러닝 최대값에 따라 변하는 출구 수준을 가진 일반 드로우다운 시간에서 과정의 연합 라플라스 변환은 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ2 러닝 최대값에 따라 변화하는 드로우다운 수준에 도달하는 데 걸리는 시간의 라플라스 변환은 무엇인가?
• RQ3 동적 드로우다운 수준을 기어이어 통과하는 기어이어 시간은 어떻게 행동하는가? 그 라플라스 변환은 무엇인가?
• RQ4 일반적인 동적 경우에서 드로우다운 시간과 관련된 잠재 측도의 구조는 어떠한가?
• RQ5 결과를 선형 드로우다운 함수의 특수한 경우로 전개하여 이전에 알려진 공식을 복원할 수 있는가?

주요 결과

• 드로우다운 시간에서 과정의 연합 라플라스 변환은 러닝 최대값에 대한 적분으로 표현되며, 척도 함수 $ W^{(q)} $ 와 그 도함수를 포함한다.
• 동적 드로우다운 수준에 도달하는 데 걸리는 시간의 라플라스 변환은 산출의 통합과 척도 함수 $ W^{(q)} $ 를 통해 도출되며, $ W^{(q)ackprime} $ 와 $ W^{(q)} $ 를 포함하는 핵심 항등식이 존재한다.
• 기어이어 시간의 경우, 라플라스 변환은 도함수 비율 $ W^{(q)ackprime}(x)/W^{(q)}(x) $ 를 포함하는 공식으로 주어지며, 이는 연속적 통과의 확률을 반영한다.
• 드로우다운과 관련된 잠재 측도는 산출 국소 시간과 척도 함수에 대한 통합을 통해 유도된다.
• 선형 드로우다운의 경우, 결과는 이전에 알려진 공식을 복원하여 일반 프레임워크의 타당성을 검증한다.
• 핵심 분석 결과로 다음 항등식이 수립된다: $ n(e^{-q ho^{\{b-a\}}}; \rho^{\{b-a\}} < \rho^{+}_{b-c}) = \frac{W^{(q)}(b-c)}{W^{(q)}(a-c)} \left( \frac{W^{(q)\prime}(b-a)}{W^{(q)}(b-a)} - \frac{W^{(q)\prime}(b-c)}{W^{(q)}(b-c)} \right) $.