[論文レビュー] Exotic Motivic Periodicities

Bogdan Gheorghe|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、$ olimits\operatorname{Spec} \mathbb{C}$ 上のモチビック安定ホモトピー群における非零冪的元 $ olimits\eta$ を出発点として、$w_n$-周期性と呼ばれる新しいモチビック周期性理論を提唱する。$K(w_n)$ と呼ばれるモチビック体と、$ olimits\pi_{\ast,\ast}(wBP) \cong \mathbb{F}_2[w_0, w_1, \ldots]$ を満たす $E_\infty$ リングスペクトル $wBP$ を構成し、モチビックホモトピー理論における奇妙な周期的現象を検出するための枠組みを提供する。

ABSTRACT

One can attempt to study motivic homotopy groups by mimicking the classical (non-motivic) chromatic approach. There are however major differences, which makes the motivic story more complicated and still not well understood. For example, classically the $p$-local sphere spectrum $S^0_{(p)} $ admits an essentially unique non-nilpotent self-map, which is not the case motivically, since Morel showed that the first Hopf map $η\colon S^{1,1} o S^{0,0}$ is non-nilpotent. In the same way that the non-nilpotent self-map $2 = v_0 \in π_{\ast,\ast}(S^{0,0})$ starts the usual chromatic story of $v_n$-periodicity, there is a similar theory starting with the non-nilpotent element $η\in π_{\ast,\ast}(S^{0,0})$, which Andrews-Miller denoted by $η= w_0$. In this paper we investigate the beginning of the motivic story of $w_n$-periodicity when the base scheme is $\mathbf{Spec} \! \ \mathbb{C}$. In particular, we construct motivic fields $K(w_n)$ designed to detect such $w_n$-periodic phenomena, in the same way that $K(n)$ detects $v_n$-periodic phenomena. In the hope of detecting motivic nilpotence, we also construct a more global motivic spectrum $wBP$ with homotopy groups $π_{\ast,\ast}(wBP) \cong \mathbb{F}_2[w_0, w_1, \ldots]$.

研究の動機と目的

• 古典的クロミティック周期性理論のモチビック版を確立すること。出発点は $v_0 = 2$ ではなく、最初のモチビックホープ写像 $w_0 = \eta$ とする。
• 2 や $\eta$ のような複数の非零冪的自己写像が存在するため、古典的クロミティックアルゴリズムがモチビックホモトピー理論で失敗する問題を解決すること。
• $w_n$-周期的現象を検出するモチビック体スペクトル $K(w_n)$ を構成すること。これは $K(n)$ が $v_n$-周期性を検出するのと同様の役割を果たす。
• ホモトピー群が $\pi_{\ast,\ast}(wBP) \cong \mathbb{F}_2[w_0, w_1, \ldots]$ を満たす $E_\infty$ リングスペクトル $wBP$ を定義・構成し、グローバルなモチビック周期性理論を構築すること。
• モチビックアダムズスペクトル系列を $C\tau$-線形で $\overline{H}$-に基づくものとして構築し、$w_n$-周期的構造を解析する計算的枠組みを提供すること。

提案手法

• セルラーなモチビックスペクトルを $\operatorname{Spec} \mathbb{C}$ 上でモデル化するため、$C\tau$-加群の圏を用いる。これにより $\overline{H}$-ホモロジーの計算が可能になる。
• $\overline{H}$-に基づく $C\tau$-線形モチビックアダムズスペクトル系列を用い、商セルスルド代数 $\overline{\mathcal{A}}//E(P_1, P_2, \ldots)$ 上での $\operatorname{Ext}$ 群を計算する。
• $\overline{H}$-セルスルド代数上での $\mathbb{F}_2$ の分解として $k(w_n)$ を構成し、$E_\infty$-リング構造を介して $K(w_n)$ に持ち上げる。
• $\overline{\mathcal{A}}//E(P_1, P_2, \ldots)$ 上での $\mathbb{F}_2$ の分解として $wBP$ を構成し、$\overline{H}^{\ast,\ast}(wBP) \cong \overline{\mathcal{A}}//E(P_1, P_2, \ldots)$ を得る。
• 環の変換同型を用いて、アダムズスペクトル系列が $E_2$ で収束することを示し、$\pi_{\ast,\ast}(wBP) \cong \mathbb{F}_2[w_0, w_1, \ldots]$ を得る。
• $wBP\langle n\rangle$ を $wBP$ の $w_{n+1}, w_{n+2}, \ldots$ による商として構成し、$\pi_{\ast,\ast}(wBP\langle n\rangle) \cong \mathbb{F}_2[w_0, \ldots, w_n]$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $v_0 = 2$ の代わりに $w_0 = \eta$ を出発点とするモチビック周期性理論を構築できるか？
• RQ2 $w_n$-周期的現象を検出する適切なモチビック体スペクトル $K(w_n)$ は何か？
• RQ3 ホモトピー群が $\pi_{\ast,\ast}(wBP) \cong \mathbb{F}_2[w_0, w_1, \ldots]$ を満たす $E_\infty$ リングスペクトル $wBP$ をどのように構成できるか？
• RQ4 $wBP$ のモチビックアダムズスペクトル系列は $E_2$ で収束するか？ その結果、ホモトピー群にどのような意味があるか？
• RQ5 $wBP\langle n\rangle$ の構成を $E_\infty$ リング構造と整合させることができるか？

主な発見

• $wBP$ のモチビックアダムズスペクトル系列は $E_2$ で収束し、隠れた拡張がない。これにより $\pi_{\ast,\ast}(wBP) \cong \mathbb{F}_2[w_0, w_1, \ldots]$ が得られる。
• モチビック体スペクトル $K(w_n)$ は $E_\infty$ リングスペクトルとして構成され、$\overline{H}^{\ast,\ast}(K(w_n)) \cong \overline{\mathcal{A}}//E(P_1, \ldots, P_n)$ が $\overline{\mathcal{A}}$-加群として成り立つ。
• $wBP\langle n\rangle$ は $wBP$ の商として構成され、$\pi_{\ast,\ast}(wBP\langle n\rangle) \cong \mathbb{F}_2[w_0, \ldots, w_n]$ を満たす $E_\infty$ リング構造を有する。
• $wBP$ の $\overline{H}$-ホモロジーは $\overline{\mathcal{A}}//E(P_1, P_2, \ldots)$ と同型であり、周期性理論の期待される代数的構造が確認された。
• $wBP$ の構成は、$C\tau$-線形分解を用いて $\overline{H}$-セルスルド代数上で $\mathbb{F}_2$ を分解することに依存し、微分はマラゴリス生成子 $P_t^s$ を用いて定義される。
• $wBP\langle n\rangle$ のスペクトル系列も $E_2$ で収束し、$\operatorname{Ext}$-群は $\mathbb{F}_2[w_0, \ldots, w_n]$ と同型である。これにより周期的構造が裏付けられた。