[論文レビュー] Experimental Study of the Shortest Reset Word of Random Automata

Evgeny Skvortsov, Evgeny Tipikin|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2011

semigroups and automata theory参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、最大100状態のランダムな有限オートマトンにおける最短リセット語の実験的同定に、SATソルバーを用いる手法を提案する。同期化問題を一連のSATインスタンスに還元することで、平均的な最短リセット語長が約1.95n^0.55の割合で増加することが判明し、これは状態数に対して非線形に増加することを示唆する。また、大きなnに対してランダムオートマトンが高確率で同期化可能であるという仮説を支持する。

ABSTRACT

In this paper we describe an approach to finding the shortest reset word of a finite synchronizing automaton by using a SAT solver. We use this approach to perform an experimental study of the length of the shortest reset word of a finite synchronizing automaton. The largest automata we considered had 100 states. The results of the experiments allow us to formulate a hypothesis that the length of the shortest reset word of a random finite automaton with $n$ states and 2 input letters with high probability is sublinear with respect to $n$ and can be estimated as $1.95 n^{0.55}.$

研究の動機と目的

• 2文字アルファベットを用いたランダム有限オートマトンにおける最短リセット語の長さを調査すること。
• 最短リセット語長が状態数に対して非線形に増加するかどうかを特定すること。
• 100状態までのオートマトンに対して、正確な最短リセット語を計算する際のSATソルバーの有効性を評価すること。
• 先行のリセット語の期待長さに関する予想を検証・精緻化すること。

提案手法

• 最短リセット語問題を、各候補語長cごとに1つの3-CNF SATインスタンスに還元する。
• cを増加させながら、公式φc_Aの充足可能性をSATソルバーでチェックし、最初に充足可能なインスタンスが得られるまで繰り返す。
• 各状態、文字、時刻ステップに対してブール変数を用いて状態遷移とリセット条件を符号化する。
• 接頭辞追跡と状態一貫性制約を用いて、c回の遷移後にすべての状態が1つの状態に収束することを保証する論理式を構築する。
• 各nについて1000個のランダムオートマトンを対象に統計的分析を実施し、平均、分散、リセット語長の分布に注目する。
• 対数-対数回帰を用いて平均リセット語長をべき乗則に適合させ、ℓ(n) ≈ 1.95n^0.55を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムオートマトンにおける最短リセット語長は、状態数に対して非線形に増加するか？
• RQ2 100状態までのランダムオートマトンにおいて、最短リセット語長の経験的スケーリング挙動はいかなるものか？
• RQ3 状態数が増加するに従い、ランダムオートマトンの同期化確率はどのように変化するか？
• RQ4 SATソルバーは、非自明なオートマトンの正確な最短リセット語を効果的に計算できるか？
• RQ5 先行の予想（例えばローマンの線形推定0.486n）と比較して、結果はどうなるか？

主な発見

• 2文字アルファベットを用いたランダムオートマトンにおける最短リセット語の平均長は、ℓ(n) ≈ 1.95n^0.55に比例し、これはnに対して非線形増加を示唆する。
• n = 100の場合、生成された200個のオートマトンのうちたった1つしか同期化されなかったものがなかったため、nが増加するにつれて同期化確率が1に近づくことが示唆される。
• 標準偏差と平均の比、√d(n)/r(n)はnが増加するにつれて0に近づく傾向にあり、これはnが大きい場合にはℓ(n)が平均値のまわりにきわめて集中していることを示す。
• SATベースの手法は、100状態までのすべてのテストオートマトンに対して最短リセット語を正しく計算でき、信頼性の高い統計的分析を可能にした。
• ローマンの以前の予想ℓ(n) ≈ 0.486nとは対照的に、実際にははるかに遅い、非線形の増加率であることが判明した。
• べき乗則のフィット結果r(n) ≈ 1.95n^0.55は、n ≥ 17においても良好にデータに適合しており、大規模nの挙動を分離する目的でn < 20を回帰から除外したにもかかわらず、依然として妥当である。