[論文レビュー] Expert Opinions and Logarithmic Utility Maximization for Multivariate Stock Returns with Gaussian Drift

Jörn Saß, Dorothee Westphal+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2016

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 28被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、株式のドリフトが部分的に観測可能である投資家を想定し、観測されたリターンと離散的な専門家意見を組み合わせた、多次元ポートフォリオ最適化フレームワークを構築する。条件付き共分散行列のフィルタリングダイナミクスは行列リッカティ方程式を用いて導出され、専門家意見の増加に伴いフィルタの不確実性がゼロに収束することを証明し、完全情報下での最適対数 utility が、完全情報ベンチマークに近づくことを示している。

ABSTRACT

This paper investigates optimal trading strategies in a financial market with multidimensional stock returns where the drift is an unobservable multivariate Ornstein-Uhlenbeck process. Information about the drift is obtained by observing stock returns and expert opinions. The latter provide unbiased estimates on the current state of the drift at discrete points in time. The optimal trading strategy of investors maximizing expected logarithmic utility of terminal wealth depends on the filter which is the conditional expectation of the drift given the available information. We state filtering equations to describe its dynamics for different information settings. Between expert opinions this is the Kalman filter. The conditional covariance matrices of the filter follow ordinary differential equations of Riccati type. We rely on basic theory about matrix Riccati equations to investigate their properties. Firstly, we consider the asymptotic behaviour of the covariance matrices for an increasing number of expert opinions on a finite time horizon. Secondly, we state conditions for the convergence of the covariance matrices on an infinite time horizon with regularly arriving expert opinions. Finally, we derive the optimal trading strategy of an investor. The optimal expected logarithmic utility of terminal wealth, the value function, is a functional of the conditional covariance matrices. Hence, our analysis of the covariance matrices allows us to deduce properties of the value function.

研究の動機と目的

• 未観測の多次元ドリフトに従う金融市場をモデル化すること。
• 現在のドリフト状態の不偏推定値としての離散的専門家意見を組み込み、ポートフォリオ意思決定を改善すること。
• 部分情報下での対数 utility 最大化に基づく最適取引戦略を導出すること。
• 専門家意見の増加に伴うフィルタの条件付き共分散行列の漸近的挙動を分析すること。
• 専門家意見の頻度が増加するにつれて、価値関数が完全情報ケースに収束する性質を確立すること。

提案手法

• ドリフトを、確率的ダイナミクス dµt = α(δ − µt)dt + β dBt に従う d次元のオーナイズ・ウーレンバック過程としてモデル化する。
• 観測された株式リターンと専門家意見に基づいて、ドリフトの条件付き期待値（フィルタ）をカルマンフィルタリングで計算する。
• 行列リッカティ微分方程式を用いて、フィルタおよびその条件付き共分散行列の連続時間のフィルタリングダイナミクスを導出する。
• 専門家意見の到着時刻に応じて離散時間のカルマン更新を適用し、フィルタを精緻化し、不確実性を低減する。
• 時間経過に伴う不確実性低減の程度を評価するため、条件付き共分散行列の固有値ノルム（スペクトルノルム）を分析する。
• 行列リッカティ方程式理論と有界収束定理を用いて、価値関数が完全情報ベンチマークに収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 専門家意見の組み込みが、多次元設定におけるドリフトフィルタの条件付き共分散行列に与える影響は何か？
• RQ2 専門家意見の数が増加する際、フィルタの不確実性（条件付き共分散行列）がゼロに収束するための条件は何か？
• RQ3 専門家意見の頻度が増加するにつれて、最適ポートフォリオ戦略の価値関数が完全情報の価値関数にどのように収束するか？
• RQ4 無限時間ホライズンにおいて、定期的な間隔で専門家意見が到着する場合、最適期待対数 utility の極限的挙動は何か？
• RQ5 専門家意見の頻度の関数として、リターンのみ、専門家のみ、両方を用いる投資家のタイプの効率性はどのように比較できるか？

主な発見

• 専門家の共分散行列が有界である限り、有限時間ホライズンにおいても、専門家意見数 N → ∞ のとき、フィルタの条件付き共分散行列のスペクトルノルムがゼロに収束する。
• 無限時間ホライズンにおいて等間隔の専門家意見が存在する場合、特定のモデルパラメータの条件下で、条件付き共分散行列はゼロに収束する（定理4.10で示唆）。
• 最終資産の最適期待対数 utility V C,N(x0) は、N → ∞ のとき、完全情報下の値 V F(x0) に収束し、収束速度はモデルパラメータに依存する。
• 両方の情報（リターンと専門家意見）を用いる統合投資家の効率性 ρC,N は N の増加とともに増加し、N → ∞ のとき100％に近づく。これはほぼ最適なパフォーマンスを示している。
• すべての N に対して、V R(1) ≤ V E,N(1) ≤ V C,N(1) ≤ V F(1) が成り立ち、V C,N(1) と V E,N(1) は N の増加とともに単調に増加する。
• 数値結果では、N = 10,000 の専門家意見において、統合投資家の価値関数 V C,N(1) = 1.4933 は、完全情報下の値 V F(1) = 1.5358 の95.84％に達している。